Найти минимальное 24-значное число a₁a₂a₃...a₂₄, которое удовлетворяет следующим условиям:

a₁ делится на 1;

a₁a₂ делится на 2;

a₁a₂a₃ делится на 3;

...

a₁a₂a₃...a₂₄ делится на 24.

Одна из систем защиты банковских терминалов устроена следующим образом:

Пользователю сообщается пин-код состоящий из некоторого количества цифр, каждый раз при входе пользователя просят ввести в терминал несколько конкретных символов. Например, для пин-кода 54321 могут попросить ввести 1-й, 3-й и 5-й символы (номера символов всегда возрастают, то есть нужную часть пин-кода можно получить «выкидыванием» оставшихся символов). В этом случае пользователю для авторизации надо ввести '531'. Таким образом просто подсмотрев то, что ввел пользователь злоумышленник не сможет получить доступа. Вам удалось проследить приличное количество авторизаций одного пользователя, хотя Вы и не знаете какие цифры просили вводить. Найдите подходящий пин-код минимальной длины.

Вот лог авторизаций:

'219', '319', '315', '387', '365', '417', '397', '165', '319', '420', '489', '469', '019', '286', '238', '495', '038', '316', '095', '415', '435', '431', '426', '423', '206', '409', '215', '869', '295', '416', '089', '015', '219', '289', '285', '269', '867', '495', '695', '067', '157', '386', '157', '019', '897', '189', '407', '189', '089', '426'

Какое минимальное количество ходов конем необходимо сделать для того, чтобы пройти через все поля шахматной доски? (Начинать можно с любого поля). 

Необходимо разложить 8290 кафельных плиток размера 1x1 на пол размером 68x122, так чтобы в каждой строке и в каждом столбце было четное количество плиток, при этом на одно место можно положить не более одной плитки. Сколько существует способов такой укладки?

Известно, что если квадратный корень из целого числа не является целым числом, то он не будет и рациональным. Поэтому соответствующая ему бесконечная десятичная дробь не будет периодической. Рассмотрим десятичное разложение квадратного корня из двух:
1.41421356237309504880...
Сумма ста первых десятичных знаков этого разложения равна 475.

Найдите сумму тысячи первых десятичных знаков корня квадратного из трех.

У вас есть кубики размера 1x1x1, из них - 6 прозрачные и 90 кубиков имеют в центре красную бусинку. Сколько существует способов размещения кубиков внутри параллелепипеда размером 4x4x6 таких, что во всех рядах по всем трем направлениям находится четное количество бусинок (ноль - также четное число)?

Дана таблица из чисел, надо найти разность минимальных путей от верхней границы до нижней и от левой границы до правой. Для движения от верхней границы возможны только движения: вправо, вниз и влево. Длина пути считается так: сумма всех чисел в клетках через которые мы проходим. Для движения от левой границы к правой возможны движения: вверх, вниз и вправо. Путь от верхней границы до нижней — это путь начинающийся в любой из клеток первой строчки и заканчивающийся в любой из клеток последней строки таблицы. В ответ выведите разность длины минимального прохождения квадрата сверху вниз и слева направо(разность найденных минимальных путей).

Пример для таблицы 4 на 4:

40,35,13,32
60,58,40,20
83,18,11,53
72,50,85,75

Длина минимального пути сверху-вниз: 13+40+11+18+50 = 132. Длина минимального пути слева-направо: 40+35+13+32 = 120. Разность 12.

Найдите разность для таблицы размера 40 на 40:

39,27,46,53,47,35,91,17,91,87,34,83,96,68,62,63,18,16,44,15,48,92,23,98,50,63,59,54,83,65,46,46,68,70,51,96,51,78,48,67

89,15,80,97,44,34,22,43,33,11,69,42,45,46,43,74,58,37,31,66,82,39,77,36,85,15,54,24,84,18,58,57,86,29,50,59,79,30,98,84

30,94,97,70,68,31,56,12,48,78,45,92,80,22,88,36,32,49,29,67,62,15,80,84,72,17,29,17,23,62,40,38,86,39,38,78,46,33,83,13

86,85,73,89,60,19,56,71,31,25,43,52,80,37,77,55,38,60,50,44,69,43,47,32,76,23,45,89,44,82,24,42,75,34,50,93,83,22,22,48

99,63,77,57,77,70,31,39,45,18,95,40,84,97,80,92,31,82,37,79,18,68,71,35,56,15,77,73,99,26,87,10,15,40,45,52,22,10,90,86

97,56,86,80,17,19,76,14,77,66,80,97,89,67,69,26,48,67,98,38,62,94,47,97,35,63,78,80,64,80,28,67,11,18,37,16,36,91,99,32

29,72,28,84,32,47,33,69,37,95,83,10,71,94,30,17,58,75,40,72,68,50,25,27,79,81,77,20,63,44,67,41,86,43,18,70,18,92,39,64

27,16,32,91,94,83,80,60,21,81,21,74,88,66,15,76,86,68,35,87,34,90,52,93,98,16,20,13,17,95,70,85,38,23,19,58,53,52,25,70

93,12,26,98,89,78,64,66,11,91,87,17,70,48,38,30,82,42,63,66,33,31,32,96,13,26,63,82,79,41,95,74,62,70,38,82,84,29,68,97

37,11,94,81,97,67,98,92,15,37,67,55,91,79,50,37,71,93,92,11,24,36,40,63,39,68,81,55,30,39,13,49,54,81,73,44,76,42,52,52

87,29,83,51,32,67,57,26,67,34,57,81,61,98,39,88,63,91,46,40,30,44,57,83,72,48,98,16,84,11,64,43,94,69,28,14,79,12,14,94

35,25,17,84,64,55,75,30,38,63,85,91,11,84,13,69,79,93,16,34,61,36,21,68,86,15,32,86,19,84,34,97,98,16,45,73,61,86,14,91

67,53,68,89,57,93,93,90,78,25,85,74,64,82,26,29,46,15,34,95,87,84,75,89,67,69,87,75,23,49,57,20,42,43,51,30,41,62,85,38

52,38,31,13,35,97,45,99,63,83,20,97,20,68,77,89,29,55,43,71,45,36,19,89,59,54,89,35,56,90,10,55,12,10,31,12,25,61,17,40

95,57,98,21,93,99,36,29,52,68,93,52,27,70,95,66,50,35,21,17,35,94,69,99,98,39,92,23,52,22,24,57,32,82,22,56,33,22,92,53

98,51,78,39,46,69,32,38,20,85,31,44,14,34,35,36,62,36,22,25,43,26,80,53,27,34,46,63,33,49,47,52,34,54,63,30,25,52,10,89

33,56,43,25,63,94,80,51,86,74,12,80,96,71,21,77,68,38,86,89,48,26,83,40,78,12,89,32,14,78,66,71,77,15,17,70,79,83,24,56

59,35,12,84,89,54,87,85,31,46,33,29,20,71,30,86,15,13,31,89,61,52,10,60,96,94,90,44,79,89,63,58,67,14,63,56,21,91,44,65

87,43,40,12,10,96,64,80,96,18,33,34,38,86,43,65,67,54,92,17,52,13,69,88,69,67,31,18,41,73,48,39,23,81,61,24,49,71,32,28

70,26,14,41,70,92,21,88,92,99,52,58,47,75,21,66,39,64,20,77,82,88,62,81,17,45,36,88,22,10,69,70,49,82,15,30,14,29,40,45

27,11,97,27,65,44,38,37,63,13,91,89,29,28,80,89,69,83,17,93,84,84,88,27,28,61,90,83,76,68,83,23,38,14,88,78,35,81,87,29

82,41,69,77,26,23,11,79,29,31,34,90,30,52,38,13,69,17,62,82,87,13,85,47,12,99,12,90,67,23,80,99,52,20,76,33,34,34,89,14

77,11,16,31,71,59,42,99,45,54,91,83,62,49,86,49,75,75,17,63,69,84,77,73,23,44,51,25,39,76,77,13,92,56,60,43,56,54,47,21

48,29,99,67,74,23,93,97,56,86,22,79,34,56,69,32,75,12,55,83,57,42,30,62,33,49,82,65,48,60,93,83,24,98,47,53,58,51,12,40

11,79,29,16,84,86,17,97,47,90,31,50,35,82,77,81,97,67,71,20,60,81,82,28,82,20,99,98,99,31,83,73,13,49,72,58,36,42,74,89

30,54,20,40,33,98,99,88,69,58,77,46,75,23,10,57,72,19,16,25,23,21,87,68,77,91,75,36,61,74,19,54,31,57,91,26,90,42,19,83

89,24,39,90,55,84,58,13,85,59,62,31,42,71,48,37,42,48,78,93,96,53,98,90,75,11,36,51,51,17,54,10,47,74,11,81,29,38,50,76

19,95,10,25,23,50,59,75,18,20,62,16,86,21,86,50,67,32,74,73,49,76,62,84,24,88,40,62,51,75,90,84,54,16,55,78,94,60,24,55

48,80,37,52,29,93,34,56,87,28,36,82,28,60,98,46,94,95,66,39,91,57,94,75,47,65,97,57,78,23,34,77,30,62,20,71,82,56,55,36

10,84,37,60,55,68,59,28,32,44,36,40,32,99,61,85,38,20,51,21,57,75,65,44,52,99,85,16,98,16,39,36,24,25,87,95,34,50,95,17

36,74,37,83,66,25,19,97,92,93,19,67,93,73,45,53,68,71,95,27,17,68,53,60,43,87,78,72,64,61,76,74,66,58,86,42,76,64,13,40

46,14,35,80,40,27,44,76,61,59,77,25,32,72,20,21,31,43,40,28,45,38,59,12,10,26,21,17,90,85,20,43,65,40,49,50,87,70,36,36

97,76,47,93,58,30,31,85,46,86,26,77,81,99,44,33,61,84,33,48,88,23,85,57,75,92,55,24,36,74,52,21,58,50,93,91,27,39,40,44

57,91,68,51,63,54,27,18,28,53,77,74,84,14,94,33,73,85,38,15,37,69,54,83,77,29,77,99,11,30,15,88,18,18,88,51,66,51,77,76

81,42,74,63,79,67,11,74,82,10,25,39,24,74,74,20,42,21,81,75,37,65,82,10,42,87,90,20,29,44,40,41,65,48,43,62,64,71,33,66

33,14,31,17,41,40,81,58,23,39,67,54,61,71,65,49,32,31,98,54,46,65,46,81,44,17,39,47,74,94,45,36,14,65,70,11,42,29,23,12

22,13,50,13,62,99,67,22,72,10,76,89,24,13,30,23,37,86,11,99,58,23,31,95,95,52,95,70,36,13,59,46,61,64,24,78,76,18,94,20

12,57,68,56,10,27,33,20,63,44,47,32,95,60,61,76,27,28,77,76,76,30,97,77,65,70,40,24,63,23,69,26,61,76,15,33,13,92,72,31

68,63,23,84,14,14,83,87,17,56,57,54,61,10,37,85,58,79,89,96,65,80,84,48,97,26,42,41,42,14,45,37,21,14,47,65,98,61,70,36

68,83,10,18,86,22,39,43,64,47,72,27,10,75,22,26,17,36,97,22,47,53,65,49,50,60,99,29,29,82,24,95,60,38,73,70,49,15,53,45

Это усложненная версия задачи 81. Дана таблица из чисел, надо найти минимальный путь от левого верхнего угла до правого нижнего. Возможны движения: вправо, вниз, влево, вверх и по диагонали: влево-вверх, вправо-вверх, вправо-вниз и влево-вниз. Длина пути считается так: число в левом верхнем углу, и каждый ход к данному числу прибавляется число на которое мы переходим, если движения через грань, и удвоенное число на которое мы переходим, если движение по диагонали (через угол).

Пример кратчайшего пути для таблицы 4 на 4:

22,18,28,12

65,76,19,95

90,22,96,84

56,92,27,51

Длина: 22+18+2*19+2*22+2*27+51 = 227

Найдите длину минимального пути в таблице 40 на 40:

47,15,61,49,88,45,40,93,82,96,91,84,34,11,96,60,31,90,59,96,40,16,17,50,65,32,92,24,24,29,33,58,70,96,18,37,97,36,28,34

81,73,99,38,88,91,62,74,60,16,69,22,11,54,10,55,15,75,69,84,96,18,33,72,65,65,35,10,13,73,62,50,78,78,84,19,94,33,28,41

90,21,71,21,89,17,66,47,97,64,27,54,31,99,68,61,10,69,56,98,12,73,47,78,25,55,70,17,52,14,66,51,23,46,39,43,12,67,92,34

51,53,97,18,54,20,10,83,78,32,79,40,29,99,77,34,91,31,14,63,50,64,27,88,34,90,49,16,53,89,94,28,19,82,86,75,69,18,27,56

97,74,97,28,82,62,34,67,15,55,86,50,71,38,58,24,68,69,20,43,16,84,35,41,34,77,23,51,64,56,64,32,15,40,26,89,90,42,14,54

54,49,84,16,32,16,20,73,47,10,32,63,35,59,59,65,65,22,75,98,26,31,92,62,89,98,24,31,70,21,29,91,52,91,69,52,50,85,35,10

16,38,83,77,12,10,54,46,43,12,97,50,28,21,55,31,69,51,22,91,83,77,34,52,37,80,58,59,43,32,53,54,62,34,42,17,83,55,20,75

91,14,88,26,99,14,58,79,97,48,71,97,17,65,37,18,31,15,11,21,74,87,31,26,17,24,65,55,35,42,47,88,58,23,80,88,90,77,15,76

70,85,21,34,94,72,64,94,29,89,19,73,15,70,80,74,50,50,88,26,92,13,38,79,43,35,90,51,32,20,82,12,22,17,74,92,42,76,70,10

34,47,28,35,34,58,53,52,23,64,36,91,63,68,88,28,32,22,43,81,75,72,35,22,94,94,27,67,88,20,78,70,90,94,17,38,29,38,21,11

11,91,11,47,35,60,86,20,23,97,53,54,62,62,19,73,49,40,80,22,98,58,47,69,68,42,65,13,55,57,64,79,11,17,79,15,90,29,59,38

55,77,40,84,79,73,46,57,73,27,88,82,11,79,80,24,70,55,92,17,33,50,52,30,64,40,50,23,89,34,41,92,54,47,42,20,72,67,94,14

33,72,41,60,21,73,20,87,39,26,86,28,30,60,13,74,82,92,26,38,17,52,91,43,87,80,24,55,95,79,70,89,83,40,71,35,76,49,87,16

71,83,65,25,73,56,94,39,51,73,85,21,99,94,10,32,40,60,30,64,86,76,59,29,98,70,20,84,71,88,11,69,95,25,74,23,24,82,40,61

72,80,13,57,90,10,67,27,15,21,12,77,96,14,94,52,18,75,85,90,28,79,41,80,12,82,88,22,48,19,35,55,69,65,38,74,24,80,66,18

54,58,86,47,56,33,80,89,46,10,85,98,98,23,74,96,68,26,72,55,74,53,39,41,12,39,38,84,97,77,20,72,70,66,38,93,96,79,60,65

39,97,74,67,11,29,51,96,81,60,34,19,26,28,58,80,42,26,14,99,84,99,86,40,58,17,76,18,29,43,76,79,74,39,40,35,31,65,18,57

18,46,80,89,99,83,51,91,60,80,15,25,99,20,83,19,45,31,66,20,12,34,44,62,96,31,58,60,29,10,16,51,19,62,74,38,30,12,24,24

56,52,48,91,86,28,91,19,82,91,67,84,99,81,36,67,29,26,34,22,42,71,60,69,71,63,51,78,97,96,40,37,72,73,24,13,76,96,42,15

63,98,25,87,51,95,38,15,87,87,53,24,30,86,47,65,32,72,22,40,53,93,39,53,91,23,13,41,38,32,41,79,35,99,52,37,78,93,27,43

77,46,45,35,92,34,98,66,92,37,70,16,36,29,44,15,54,94,64,16,75,41,90,87,53,25,51,17,29,27,74,58,83,92,87,78,72,42,80,24

89,45,35,97,62,88,35,20,39,54,31,81,19,56,15,99,99,28,20,71,29,81,71,66,21,72,68,96,43,40,14,37,66,61,61,80,60,92,90,88

64,52,88,50,51,68,48,18,43,60,20,18,18,63,36,79,27,41,94,12,16,17,37,53,70,66,63,83,69,66,38,99,44,27,82,94,25,66,82,73

18,82,86,93,71,77,67,22,77,66,60,85,70,93,50,76,63,31,89,51,35,88,47,58,94,17,28,12,84,37,16,40,96,74,91,62,78,78,49,81

96,61,64,40,43,26,70,17,78,66,30,93,87,34,51,85,89,93,44,96,63,25,53,58,96,15,16,47,92,91,86,26,67,48,44,34,82,64,69,57

27,58,64,47,16,18,76,69,80,33,90,30,56,48,80,27,51,71,26,32,81,92,34,46,63,47,97,39,24,26,38,64,28,81,34,86,15,12,35,96

81,47,76,59,19,83,83,83,77,51,67,80,65,31,48,96,76,34,19,68,55,85,95,36,28,53,18,47,68,72,65,64,22,84,40,91,27,99,20,23

14,91,91,78,83,40,19,41,52,94,43,71,56,71,73,18,46,21,39,36,35,21,23,97,86,46,39,64,24,63,88,90,49,28,68,92,32,17,26,95

18,33,89,40,81,12,61,33,54,54,16,40,18,31,89,57,46,64,69,48,98,31,18,92,99,47,18,33,81,73,39,42,96,68,41,88,29,82,23,69

32,65,79,31,28,36,43,10,44,25,66,38,93,10,84,80,75,74,22,89,48,30,18,91,12,30,71,68,37,31,57,89,24,67,44,46,93,47,27,15

74,72,69,42,31,61,30,59,90,31,36,86,97,88,44,71,74,92,18,78,78,41,46,43,42,43,92,25,15,56,45,37,76,73,65,85,98,42,84,32

80,36,98,78,95,24,35,87,61,32,55,79,14,66,29,25,57,93,67,47,84,78,94,35,40,63,77,66,95,83,13,91,30,90,69,27,45,75,21,42

12,32,95,29,15,99,88,89,54,49,13,26,89,89,29,63,64,48,74,37,99,76,15,78,89,26,70,23,31,23,35,32,19,42,26,58,43,19,42,43

31,91,52,22,93,32,98,17,69,77,80,44,84,58,98,18,65,49,92,72,52,76,59,32,61,16,51,20,90,99,49,12,49,37,37,96,22,83,28,28

83,86,38,63,52,65,16,43,91,39,67,66,27,59,22,25,35,55,70,55,11,15,78,97,79,50,69,15,43,98,35,71,95,60,65,92,80,76,97,55

72,53,35,84,17,72,43,23,13,92,23,75,75,34,66,84,96,79,69,73,21,36,11,38,86,24,98,13,76,33,58,42,78,36,87,43,16,36,85,77

88,96,18,39,29,56,29,63,96,10,20,63,95,11,75,97,28,55,38,20,52,53,91,99,14,42,49,11,68,23,12,73,36,18,27,84,75,53,78,16

99,15,88,67,24,77,14,52,37,75,15,13,44,21,70,96,20,99,65,78,73,14,31,71,75,23,91,81,89,87,80,82,82,21,82,29,52,34,52,74

63,16,81,19,64,33,71,73,29,53,31,75,66,78,51,68,48,54,85,22,90,15,84,76,95,45,90,83,66,27,16,17,20,48,27,18,38,72,71,25

38,29,23,16,83,68,83,31,52,33,65,33,95,32,52,69,45,53,65,35,88,94,42,89,48,48,19,40,49,84,33,15,31,96,83,57,76,88,27,36

На поле размером 1000*1000 клеток в разных клетках расположены 10 вирусов. За каждый ход вирус заражает 4 соседние с ним клетки (слева, справа, сверху и снизу).
Определить за какое наибольшее количество ходов будет заражено все поле.

Прямоугольная сетка 3 × 2 на рисунке содержит 18 прямоугольников:

Определим функцию f(a,b) как число прямоугольников, содержащихся в сетке a × b.

Сколько различных значений принимает f(a,b) при 0<a<1000 и 0<b<1000?