Рассмотрим натуральное десятизначное число. Такое число назовем самоописывающимся, если выполнены следующие условия: первая цифра равна числу единиц в записи числа, вторая цифра равна числу двоек в записи числа, и.т.д. Девятая цифра равна числу девяток в записи числа. Таких чисел существует всего десять. Чему равна сумма их квадратов?

Можно доказать, что не существует прямоугольных треугольников, у которых длины всех трех сторон были бы простыми числами. Однако, существуют прямоугольные треугольники, у которых длины всех сторон являются натуральными числами и, кроме того, длины двух из трех сторон являются простыми числами. Примером такого треугольника является треугольник со сторонами 3, 4, 5. Если рассматривать прямоугольные треугольники, длины сторон которых не превосходят 100, то таких треугольников три штуки. Сколько существует таких треугольников с длинами сторон не более 109?

Рассмотрим простые числа, десятичная запись которых заканчивается на 999999. Первым таким числом, в порядке возрастания, является число 2999999. 999-ым числом является 8878999999. Чему равно 999999-ое простое число, заканчивающееся на 999999?

Вася выписал на доске 40 двенадцатизначных чисел:

481800152899 193230655180 986236359087 428136213172 710185136208

257800775580 457966873591 246543012813 913042823095 126270615520

672758768176 237417461304 950806502006 203802076583 971336790809

264424278847 700120799542 468438387190 126905462669 974298103010

460780999474 994004798784 485435715233 947292385889 617524011122

978177944085 193757695910 703261961996 422149528834 926723363717

164253370437 780535370289 777225705905 691505201210 649311709535

877877642314 762301340783 580839294219 157869922914 126125893782

Рассмотрим все комбинаторные сочетания вида C^k_n= n!/(k!*(n-k)!), где 1 ≤ k ≤ n ≤ 2009. Найдите количество пар (n,k) таких, что 10⁶ < C^k_n ≤ 10⁷.

Назовём натуральное число универсальным, если вычёркиванием части его цифр можно получить любое девятизначное число, все цифры которого различны и не равны нулю. Найти наименьшее универсальное число.

Если сложить число 47 с записанным в обратном порядке числом 74: 47 + 74 = 121, в результате получается палиндром 121 (читается одинаково слева направо и справа налево).

Оказывается, что не все числа так быстро превращаются в палиндромы:

349 + 943 = 1292,

1292 + 2921 = 4213,

4213 + 3124 = 7337.

То есть число 349 становится палиндромом после 3 таких операций.

Существуют такие числа, которые не станут палиндромом ни при каком количестве таких операций, например, таким числом является 196. Такие числа называются числами Лихрела.

Существуют палиндромы, которые сами являются числами Лихрела, например, 4994.

Рассмотрите такую же операцию в двоичной системе счисления. Например, число 22₁₀ = 10110₂, не образует палиндрома в пределах 1000 итераций:

10110₂ + 01101₂ = 100011₂,

100011₂ + 110001₂ = 1010100₂,

...

Найти все двоичные числа меньшие 2¹⁰, которые за 40 итераций не становятся палиндромами. Чему равна сумма всех найденных чисел в десятичной системе счисления?

Число "гугол" (googol) 10¹⁰⁰ - довольно большое, но сумма его цифр равна 1. Найдите максимальную сумму цифр чисел mⁿ, 0<m<2⁸, 0<n<2⁸.

Известно, что √3 = 1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + ...

То есть может быть представлен как цепная дробь с периодом (1, 2).

Посчитаем частичные суммы такой цепной дроби:

1 + 1/(1 + 1/2) = 5/3

1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2))) = 19/11

1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2))))) = 71/41

Следующие частичные суммы дают такие дроби: 265/153, 989/571, 3691/2131, 13775/7953,...

Для последней из записанных дробей - числитель имеет больше цифр чем знаменатель. Среди первых 2009 таких частичных сумм найдите дроби у которых цифр в числителе больше чем в знаменателе. В ответе укажите количество таких дробей.

Рассмотрим спираль из натуральных чисел:

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18  5  4  3 12 29
40 19  6  1  2 11 28
41 20  7  8  9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

Спираль формируется так: в центре 1, а затем числа последовательно  дописываются по спирали против часовой стрелки. Нас интересуют только числа находящиеся на одной горизонтали или вертикали с единицей. Для спирали с длиной стороны 7 доля простых среди них 4/13. Рассмотрите спирали с нечетными длинами сторон. Найдите спираль минимального размера, но большую чем дана в примере, для которой доля простых среди чисел меньше 1/10. В ответе запишите длину стороны такой спирали.