На плоскости размещен правильный 32-угольник с центром в начале координат и одной из вершин, находящейся в точке с координатами (0,1000). Из него вырезали правильный 7-угольник, у которого также центр в начале координат, а одна из вершин в той же точке (0,1000). Сколько в оставшейся части 32-угольника внутренних точек, которые имеют целочисленные координаты?

Наименьшее число единичных кубиков, необходимое, чтобы закрыть поверхность прямоугольного параллелепипеда 3х2х1, равно двадцати двум.

Чтобы добавить второй слой кубиков, закрывающих поверхность полученного тела, понадобится сорок шесть кубиков; для третьего слоя необходимо семьдесят восемь кубиков, а для четвертого - сто восемнадцать кубиков.

Первый слой параллелепипеда 5х1х1 также состоит из двадцати двух кубиков; аналогично первый слой в параллелепипедах 5х3х1, 7х2х1 и 11х1х1 состоит из сорока шести кубиков.

Обозначим за C(n) количество параллелепипедов, содержащих n кубиков в одном из своих слоев. Тогда С(22) = 2, С(46) = 4, С(58) = 5, С(82) = 7.

Оказывается, что сумма всех трехзначных n, для которых С(n) = 5, составляет 930.

Найдите сумму всех пятизначных n, для которых C(n) = 500.

Найдите максимально возможную площадь десятиугольника, стороны которого равны 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Ответ умножьте на 100000 и округлите до ближайшего целого числа.

Шахматный осел - это фигура, которая за один ход из клетки с координатами (x,y) может пойти в одну из 4-х клеток (x+2,y), (x,y+3), (x+1,y-1), (x-1,y). На шахматную доску 8х8 ставят случайным образом четырех ослов на разные клетки. Каждую секунду все ослы одновременно делают ход, при этом на одной клетке могут находиться несколько ослов. Необходимо собрать всех ослов на одной клетке за минимальное время. Найдите математическое ожидание этого минимального времени (в секундах) и выведите его с девятью знаками после запятой, то есть в формате a.bcdefghij.

Пусть ABC – треугольник, внутренние углы которого меньше 120 градусов, и пусть X – некоторая точка внутри треугольника, XA = p, XB = q и XC = r.
Ферма предложил Торричелли найти такое положение X, для которого сумма p + q + r обращается в минимум.
Торричелли удалось доказать, что если на сторонах треугольника ABC построить равносторонние треугольники AOB, BNC и AMC и описать вокруг них окружности, эти окружности пересекутся в общей точке T, лежащей внутри треугольника. Кроме того, он доказал, что точка T (называемая ныне точкой Торричелли-Ферма) минимизирует сумму p + q + r.

Оказывается, что когда сумма p + q + r обращается в минимум, AN = BM = CO = p + q + r, а отрезки AN, BM и CO также пересекаются в точке T.

Если для некоторого треугольника все числа a, b, c, p, q и r оказываются целыми, мы будем называть его треугольником Торричелли. Примером такого треугольника может служить треугольник со сторонами a = 399, b = 455 и c = 511.

Найдите сумму всех различных периметров треугольников Торричелли, не превышающих 300000.

В лазерной физике используют системы зеркал, которые действуют как линии задержки для проходящего лазерного луча. Луч входит в систему, многократно отражается от зеркал и, в конце концов, выходит обратно.

Мы рассмотрим такую линию задержки, имеющую форму эллипса с уравнением 4x² + y²= 100.

В верхней части эллипса сделано отверстие −0.01 ≤ x ≤ +0.01 для входа и выхода луча.

В нашей задаче луч направляется из точки с координатами (0,0;10,1) внутрь эллипса, где испытывает первое отражение в точке (1,4;-9,6),

Луч отражается по обычному закону "угол падения равен углу отражения". Иначе говоря, падающий и отраженный луч образуют с нормалью в точке падения равные углы.

На рисунке слева красной линией показана траектория луча к первым двум точкам отражения. Синим обозначена касательная к эллипсу в первой точке отражения. Наклон касательной в точке эллипса с координатами (x,y) можно найти по формуле: m = −4x/y. Нормаль перпендикулярна касательной в точке падения.

На анимированной картинке справа показаны первые 10 отражений луча.

Какой длины путь проделает луч внутри эллиптической системы задержки? Результат округлите до целого.

Обозначим через reverse(n) число, состоящее из тех же цифр, что и натуральное число n, но записанных в обратном порядке.

Для некоторых n в десятичной записи суммы n + reverse(n) используются только нечетные цифры. Такие n назовем обратимыми. Например, числа 36, 63, 409 и 904 обратимы, поскольку 36 + 63 = 99 и 409 + 904 = 1313.

Помня, что десятичная запись чисел не может начинаться с нуля, можно подсчитать, что ровно 120 обратимых чисел не превышают тысячи.

А сколько обратимых чисел не превышает 10²¹?

На рисунке изображена решетка размером 3x2, состоящая из вертикальных, горизонтальных и наклонных отрезков. Для данной решетка существует 37 прямоугольников, вершины которых лежат на узлах решетки.

Есть пять решеток меньшего размера: 1x1, 2x1, 3x1, 1x2 и 2x2 (каждое из измерений этих решеток не превосходит соответствующего измерения нашей решетки 3x2). Подсчитаем, сколько прямоугольников можно разместить на узлах этих решеток:

1x1: 1
2x1: 4
3x1: 8
1x2: 4
2x2: 18

Сложив все эти числа, получим, что 1+4+8+4+18+37=72 различных прямоугольников можно разместить на узлах решеток 3x2 и меньших.

Сколько различных прямоугольников можно разместить на узлах решеток 300x200 и меньших?

Типография каждый день выполняет 16 заказов. Для каждого заказа необходим лист специальной бумаги формата A5.
Каждое утро бригадир открывает новый конверт, содержащий большой лист формата A1.

Он разрезает лист пополам. В результате получается два меньших листа формата A2, один из которых он снова режет пополам, и т.д., пока не получится лист формата A5.
Все неиспользованные листы он складывает обратно в конверт.
Приступая к выполнению следующего заказа, он берет из конверта наугад первый попавшийся лист. Если этот лист имеет формат A5, он сразу же идет в дело. Если же лист окажется больше, к нему применяется та же процедура "половинного деления", что и к исходному листу, пока не получится формат A5, а оставшиеся неиспользованными листы разного формата каждый раз убирают обратно в конверт.
Найдите среднее число раз в году, когда бригадир, открыв конверт, находит там ровно два листа. Считайте, что в году 249 рабочих дней, а результат округлите до целого.

Цепочки цифр (строки) создаются по следующему правилу:
Первая строка состоит из двух цифр "1". Каждая из последующих цепочек создается такими действиями: берется цифра, на единицу большая максимальной цифры, использовавшейся в предыдущей строке. Эта цифра вставляется в начало, в конец и между всеми цифрами предыдущей строки. Вот первые 4 строки, созданные по этому правилу:
(1) 11
(2) 21212
(3) 32313231323
(4) 43424341434243414342434

Таким образом, было построено еще 5 строк и в результате получена строка, содержащая цифры от 1 до 9 и состоящая из 767 цифр. Введите в ответ число состоящие из цифр стоящих на 300-м и 301-м местах от начала.