В сильно  упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH.

В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2ⁿ.

Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. 

Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки.

На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)

В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе.

Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки.

77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H.

Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H?

Рассмотрим построение последовательности графов Серпинского:

• Граф Серпинского первого порядка S1 представляет собой равносторонний треугольник (три вершины и три соединяющих их ребра).
• Граф Серпинского  S_n+1 порядка n+1 представляет собой объединение трех графов S_n, имеющих попарно общую вершину, как показано на рисунке:

Пусть C(n) — количество циклов, проходящих через каждую вершину  S_n ровно один раз. Например, C(3)=8, поскольку граф  S₃ позволяет построить ровно 8 подобных циклов, как показано на рисунке: 

Легко проверить, что 

C(1) = C(2) = 1

C(5) = 71328803586048

C(10 000) mod 10⁸ = 37652224

C(10 000) mod 7¹⁰ = 221100305

(Здесь a mod b означает остаток от деления a на b.)

Найдите C(C(C(10 000))) mod 7¹⁰.

Будем вырезать из бумаги в клетку прямоугольники размером w × h клеток, где w и h – натуральные числа. Некоторые из них можно разрезать по клеточкам на две части так, что из этих частей составится новый прямоугольник другого размера.
Например, прямоугольник размером 9 × 4 клетки можно превратить в прямоугольники 18 × 2, 12 × 3 или 6 × 6, как показано на рисунке:

Аналогично, из прямоугольника 9 × 8 можно сделать прямоугольники размером 18 × 4 и 12 × 6 клеток.
Обозначим через F(w, h) количество различных прямоугольников, которые можно получить из прямоугольника размером w × h клеток. При этом прямоугольники с размерами a × b и b × a считаются одинаковыми, а прямоугольники, конгруэнтные исходному, не учитываются.
Тогда получим: F(2,1) = 0, F(2,2) = 1, F(9,4) = 3 и F(9,8) = 2.
Пусть G(N)=Σ F(w, h) для всех 0 < h ≤ w ≤ N.
Можно проверить, что G(10) = 55, G(10³) = 971745, а G(10⁵) = 9992617687.
Найдите ΣG(10^k), где 1≤k≤12. В качестве ответа укажите 8 младших цифр результата.

На рисунке изображены пчелиные соты, каждая ячейка которых представляет собой правильный шестиугольник со стороной 1.

Одну из ячеек занимает пчелиная матка.
Обозначим через B(L) количество ячеек, удаленных от матки на расстояние L (в этой задаче мы будем измерять расстояния между центрами ячеек).
Считая соты достаточно большими, получим  B(√3) = 6, B(√21) = 12 и B(111 111 111) = 54.

Найдите количество таких L ≤ 3•10¹¹, для которых B(L) = 378.

Ответ: