Найдите максимально возможную площадь десятиугольника, стороны которого равны 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Ответ умножьте на 100000 и округлите до ближайшего целого числа.

Числа, состоящие только из единиц называют репьюнитами. Обозначим через R(k) репьюнит длиной k, например, R(6) = 111111.
Пусть n-натуральное число, взаимно простое с 10. Можно доказать, что всегда существует число k, для которого R(k) кратно n. Обозначим через A(n) минимальное такое число, например, A(7) = 6 и A(41) = 5.
Для любого простого p > 5 число p−1 кратно A(p). Например, при p = 41 A(41) = 5 и 41-1 делится на 5.
Однако изредка попадаются и составные числа, обладающие этим свойством. Первые пять из них: 91, 259, 451, 481 и 703.
Найдите n - пятидесятое взаимно простое с 10 составное число, для которого n−1 делится на A(n).

Числа, состоящие только из единиц называют репьюнитами. Обозначим через R(k) репьюнит длиной k.
Например, R(10) = 1111111111 = 11×41×271×9091, а сумма этих простых сомножителей равна 9414.
Найдите сумму первых двухсот простых сомножителей числа R(12!).

Два студента механико-математического факультета развлекаются такой игрой: они записывают в ячейки матрицы 3х3 числа от 1 до 9, первый студент записывает в центральную (второй столбец и вторая строка) ячейку число x, затем второй может в любую ячейку записать второе число отличное от первого, затем первый студент может записать в любую оставшуюся ячейку новое число несовпадающее с предыдущими и так далее, пока все ячейки не будут заполнены различными числами от 1 до 9. Побеждает первый игрок, если определитель получившейся матрицы положителен, в противном случае побеждает второй игрок. При каком минимальном числе x вероятность победы первого игрока максимальна.

Рассмотрим последовательные простые числа p₁ = 37 и p₂ = 41. Можно убедиться, что число S = 3441, является наименьшим числом, обладающим следующими свойствами:

1) S кратно p₁, и

2) последние цифры S образуют число p₂.

Для любых последовательных простых чисел p₂ >p₁> 5, можно найти наименьшее натуральное S, обладающее свойствами 1 и 2.

Найдите ∑S для всех пар последовательных простых чисел при 7 ≤ p₁ ≤ 1000000.

Шахматный осел - это фигура, которая за один ход из клетки с координатами (x,y) может пойти в одну из 4-х клеток (x+2,y), (x,y+3), (x+1,y-1), (x-1,y). На шахматную доску 8х8 ставят случайным образом четырех ослов на разные клетки. Каждую секунду все ослы одновременно делают ход, при этом на одной клетке могут находиться несколько ослов. Необходимо собрать всех ослов на одной клетке за минимальное время. Найдите математическое ожидание этого минимального времени (в секундах) и выведите его с девятью знаками после запятой, то есть в формате a.bcdefghij.

Пусть ABC – треугольник, внутренние углы которого меньше 120 градусов, и пусть X – некоторая точка внутри треугольника, XA = p, XB = q и XC = r.
Ферма предложил Торричелли найти такое положение X, для которого сумма p + q + r обращается в минимум.
Торричелли удалось доказать, что если на сторонах треугольника ABC построить равносторонние треугольники AOB, BNC и AMC и описать вокруг них окружности, эти окружности пересекутся в общей точке T, лежащей внутри треугольника. Кроме того, он доказал, что точка T (называемая ныне точкой Торричелли-Ферма) минимизирует сумму p + q + r.

Оказывается, что когда сумма p + q + r обращается в минимум, AN = BM = CO = p + q + r, а отрезки AN, BM и CO также пересекаются в точке T.

Если для некоторого треугольника все числа a, b, c, p, q и r оказываются целыми, мы будем называть его треугольником Торричелли. Примером такого треугольника может служить треугольник со сторонами a = 399, b = 455 и c = 511.

Найдите сумму всех различных периметров треугольников Торричелли, не превышающих 300000.

В лазерной физике используют системы зеркал, которые действуют как линии задержки для проходящего лазерного луча. Луч входит в систему, многократно отражается от зеркал и, в конце концов, выходит обратно.

Мы рассмотрим такую линию задержки, имеющую форму эллипса с уравнением 4x² + y²= 100.

В верхней части эллипса сделано отверстие −0.01 ≤ x ≤ +0.01 для входа и выхода луча.

В нашей задаче луч направляется из точки с координатами (0,0;10,1) внутрь эллипса, где испытывает первое отражение в точке (1,4;-9,6),

Луч отражается по обычному закону "угол падения равен углу отражения". Иначе говоря, падающий и отраженный луч образуют с нормалью в точке падения равные углы.

На рисунке слева красной линией показана траектория луча к первым двум точкам отражения. Синим обозначена касательная к эллипсу в первой точке отражения. Наклон касательной в точке эллипса с координатами (x,y) можно найти по формуле: m = −4x/y. Нормаль перпендикулярна касательной в точке падения.

На анимированной картинке справа показаны первые 10 отражений луча.

Какой длины путь проделает луч внутри эллиптической системы задержки? Результат округлите до целого.

Обозначим через reverse(n) число, состоящее из тех же цифр, что и натуральное число n, но записанных в обратном порядке.

Для некоторых n в десятичной записи суммы n + reverse(n) используются только нечетные цифры. Такие n назовем обратимыми. Например, числа 36, 63, 409 и 904 обратимы, поскольку 36 + 63 = 99 и 409 + 904 = 1313.

Помня, что десятичная запись чисел не может начинаться с нуля, можно подсчитать, что ровно 120 обратимых чисел не превышают тысячи.

А сколько обратимых чисел не превышает 10²¹?