Лента событий:
MikeNik решил задачу "Треугольник в квадрате - 2" (Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
1
всего попыток:
1
Обозначим через f(n) количество способов, которыми можно построить башню 3×3×n из блоков 2×1×1. Блоки можно вращать произвольным образом. При этом башни, отличающиеся поворотом или симметрией, считаются различными. Например, f(2) = 229, f(4) = 117805, f(6) = 64647289, f(63) mod 123456789 = 75292539, f(66) mod 123456789 = 56150940. Здесь a mod q означает остаток от деления a на q. Найдите f(612345) mod 123456789.
Задачу решили:
4
всего попыток:
6
Круглое болото разбито на секторы, перенумерованные по часовой стрелке числами от 1 до 500. Лягушка, сидящая в одном из секторов, может прыгнуть в один из двух соседних секторов с равной вероятностью. Перед тем, как прыгнуть, лягушка квакает. Если номер сектора, в котором сидит лягушка, является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "P" и с вероятностью 1/3 квакает "N". Если номер сектора, в котором сидит лягушка, не является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "N" и с вероятностью 1/3 квакает "P". Предположим, что в начальный момент лягушка может занимать любой из секторов с равной вероятностью. Подсчитайте вероятность того, что после 15 прыжков лягушачью песнь можно будет закодировать последовательностью PPPPNNPPPNPPNPN. Результат представьте в виде несократимой дроби, а в качестве ответа укажите ее числитель.
Задачу решили:
0
всего попыток:
0
На каждую клетку доски N×N положили по шашке, окрашенной в белый цвет с одной стороны и в черный цвет с другой. Каждым ходом разрешается перевернуть одну шашку, а вместе с нею N-1 шашек, стоящих на одной с ней вертикали, и N-1 шашек, стоящих на одной с ней горизонтали. Таким образом, каждым ходом игрок должен перевернуть 2×N-1 шашку. Игра заканчивается, когда все шашки будут стоять белой стороной вверх. Ниже приведен пример игры для доски 5×5.
Несложно проверить, чтобы закончить игру из данной начальной позиции, нужно как минимум 3 хода. Пусть строки и столбцы перенумерованы целыми числами от 0 до N-1. Построим на доске N×N начальную конфигурацию CN. Для этого на клетку с координатами x и y положим шашку черной стороной вверх, если (N-1)2≤x2+y2<N2, и белой стороной вверх в противном случае. Конфигурацию C5 мы видели в приведенном примере. Пусть T(N) – минимальное количество ходов, необходимых для окончания игры из начального положения CN (если это невозможно T(N) = 0). Ясно , что T(1)=T(2)=1. Мы видели, что T(5)=3. Можно проверить, что T(10)=29, а T(1000)=395253. Найдите сумму T(k!) для 1≤k≤12.
Задачу решили:
2
всего попыток:
3
Сферическим треугольником называют фигуру на поверхности сферы, ограниченную дугами больших кругов, имеющими попарно общие концы.
Пусть C(r) – сфера с центром в начале координат (0,0,0) и радиусом r. Пусть Z(r) – множество точек сферы C(r) с целыми координатами. Пусть T(r) – множество сферических треугольников с вершинами, принадлежащими Z(r). Вырожденные сферические треугольники с вершинами, принадлежащими одному большому кругу, не включаются в T(r). Пусть A(r) – наименьшая площадь треугольника из T(r), а B(r) =(4πr2)/A(r) – величина, обратная доле площади сферы, которую занимает наименьший сферический треугольник. Например, A(14) ≈3,294040, а B(14) ≈ 748. Найдите максимальное значение B(r) для натуральных r, не превышающих 50. Результат округлите до ближайшего целого.
Задачу решили:
0
всего попыток:
0
Вообразите бесконечный в оба конца ряд чаш, перенумерованных целыми числами. В некоторых чашах лежат бобы. Разрешается делать ходы следующего вида: взять два боба из одной чаши и разложить их в две соседние. Игра заканчивается, когда сделать ход невозможно. В примере на рисунке в две соседние чаши положили 2 и 3 боба, а остальные чаши оставили пустыми. Как видно, такую игру можно закончить за 8 ходов.
Рассмотрим последовательность целых чисел bi следующего вида: b0 = 0, b1 = 289, b2 = 145 bi = (bi-1 + bi-2 + bi-3) mod 2013, где x mod y означает остаток от деления x на у. Пусть количество бобов в двух соседних чашах определяется числами b1 = 289 и b2 = 145, а остальные чаши в начальном положении пусты. В этом случае игру можно закончить за 3419100 ходов. Подсчитайте, сколько ходов потребуется для завершения игры , если в начальном положении в чашах с номерами от 1 до 1500 лежит b1, b2, ... b1500 бобов, соответственно, а остальные чаши пусты.
Задачу решили:
0
всего попыток:
12
Несколько чашек расставлены по кругу, и в каждой из них лежит одна горошина. Игрок совершает ходы следующим образом. Он берет все горошины из одной чашки и раскладывает их одну за другой в чашки, следующие за ней по часовой стрелке. При каждом следующем ходе горошины берут из той чашки, куда была положена последняя горошина на предыдущем ходе. Игра заканчивается, когда возвращается к исходному положению, т. е. в с каждой чашке снова оказывается по одной горошине. Вот игра для случая пяти чашек:
Как видно, для пяти чашек игра заканчивается за 15 ходов. Обозначим через M(x) количество ходов в игре с x чашками. Тогда M(5) = 15. Можно проверить, что M(100) = 10920. Найдите остаток от деления на 79.
Задачу решили:
1
всего попыток:
1
Будем вырезать из бумаги в клетку прямоугольники размером w × h клеток, где w и h – натуральные числа. Некоторые из них можно разрезать по клеточкам на две части так, что из этих частей составится новый прямоугольник другого размера.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|