Лента событий:
vochfid решил задачу "Дедушка и два внука" (Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
2
всего попыток:
8
Высота над уровнем моря на острове Буян определяется формулой , Примечание. Для вашего удобства формула высоты записана в более удобном для программирования виде: h=( 5000-0.005*(x*x+y*y+x*y)+12.5*(x+y) ) * exp( -abs(0.000001*(x*x+y*y)-0.0015*(x+y)+0.7) )
Задачу решили:
4
всего попыток:
10
Альберт выбирает натуральное число k и два случайных вещественных числа, a и b, равномерно распределенных на промежутке [0,1]. Затем он вычисляет квадратный корень из суммы (k·a + 1)2 + (k·b + 1)2 и округляет его вниз до целого. Если результат оказывается равным k, Альберт получает k очков, в противном случае он не получает ничего.
Задачу решили:
2
всего попыток:
5
Лёва и Петя поспорили, у кого лучше память, и решили проверить. Для этого они обзавелись генератором случайных чисел, настроили его на получение случайных чисел от 1 до 10 и стали соревноваться, кто больше чисел запомнит. По условию игры участник получает очко, если очередное число все еще хранится в его памяти. Побеждает тот, кто набрал больше очков. По ходу дела выяснилось, что и Лёва, и Петя могут удержать в голове не более пяти разных чисел. Если игрок уже помнит пять чисел, то чтобы запомнить следующее, не содержащееся к этому моменту в его памяти, он вынужден забыть одно из имеющихся. Однако оказалось, что забывание происходит несколько по-разному:
В начале соревнования память игроков свободна. Вот пример начала игры:
Обозначим количество очков, которые Лёва и Петя набрали после 50 туров через L и P, соответственно. Найдите математическое ожидание величины (L-P)2, результат умножьте на 108 и округлите до ближайшего целого.
Задачу решили:
4
всего попыток:
11
При изготовлении микросхемы, состоящей из n транзисторов, образовалось k микродефектов. Дефекты распределены случайным образом, каждый дефект оказался в одном из транзисторов, и в любом транзисторе могло оказаться любое количество дефектов. Если в каком-либо транзисторе оказалось три или более дефектов, такой транзистор не работает, и вся микросхема идет в брак. Обозначим через E(n,k) математическое ожидание количества транзисторов, содержащих дефекты, в годной микросхеме. Например, E(13,3)≈2.78571... Найдите E(1000000,20000), умножьте на 100000, а результат округлите до целого.
Задачу решили:
2
всего попыток:
3
Английский математик Джон Хортон Конвей изобрел множество математических развлечений, доставляющих не только удовольствие, но и пищу для серьезных размышлений. Одно из его изобретений – язык программирования FRACTRAN, о котором пойдет речь в данной задаче.
Память данных виртуальной машины языка FRACTRAN содержит одно единственное целое число, а программа представляет собой упорядоченную последовательность рациональных дробей. На каждом шаге выполнения программы машина просматривает эти дроби одну за другой слева направо и умножает каждую из них на число из памяти, пока произведение не окажется целым. Полученное целое число записывают в память вместо предыдущего. Вот, например, FRACTRAN-программа, предложенная Конвеем для получения последовательности простых чисел: 17/91, 78/85, 19/51, 23/38, 29/33, 77/29, 95/23, 77/19, 1/17, 11/13, 13/11, 15/2, 1/7, 55/1. Записав в память исходное значение 2, получим в памяти ряд чисел в следующей последовательности: 15, 825, 725, 1925, 2275, 425, 390, 330, 290, 770, 910, 170, 156, 132, 116, 308, 364, 68, 4, 30, ..., 136, 8, 60, ..., 544, 32, 240, ... Оказывается, степени двойки в полученной последовательности встречаются только с простыми показателями: 22, 23, 25, ..., и можно проверить, что данная последовательность будет содержать в порядке возрастания все степени двух с простыми показателями. Заметим, что для получения 22 из исходного числа 2 потребовалось 19 шагов программы, и при этом три раза происходило умножение на дробь 13/11. А сколько раз придется выполнить умножение на 13/11 при переходе от исходного числа 2 к 2111119?
Задачу решили:
14
всего попыток:
29
Сэм и Макс решили сделать из электронных часов прибор для демонстрации последовательности математических вычислений. Для испытания они запрограммировали его на расчет однозначной суммы цифр натуральных чисел. Напомним, что для вычисления однозначной суммы цифр суммируют все десятичные цифры числа, затем все десятичные цифры результата, и так далее, пока не получится однозначное число. Когда в прибор передают очередное число, оно отображается индикатором, затем отображаются все промежуточные значения, и, наконец, - результат. Например, если взять число 137, индикатор покажет последовательность "137"→"11"→"2", а затем погаснет до прихода нового числа. Каждая цифра на индикаторе состоит из нескольких отрезков, как показано на рисунке. Например, цифра "8" использует семь отрезков – четыре вертикальных и три горизонтальных, цифра "1" состоит из двух вертикальных, а именно, правого верхнего и правого нижнего, а цифра "4" – из четырех отрезков: левого верхнего, правого верхнего и правого нижнего вертикальных и горизонтального, лежащего посередине. Индикатор потребляет электроэнергию, только когда отрезки включаются или выключаются. Так, включение или выключение числа 2 требует пяти единиц энергии, а числа 7 – четырех единиц энергии. Сэм и Макс предложили разные конструкции прибора. Работа прибора Сэма показана на картинке слева. Когда этот прибор получает число 137, оно отображается на индикаторе, затем полностью гаснет, затем прибор показывает число 11, которое также гаснет, и, наконец, загорается число 2, которое тоже гаснет В таблице приведен расчет энергопотребления прибора Сэма для числа 137. "137":(2 + 5 + 4) ?× 2 = 22 переключений ("137" включается и выключается). "11":(2 + 2) × 2 = 8 переключений ("11" включается и выключается). "2":(5) × 2 = 10 переключений ("2" включается и выключается). Всего получается 40 переключений и, соответственно, тратится 40 единиц энергии. Прибор Макса (изображен справа) работает по-другому. Он не выключает каждый раз весь индикатор, а выбирает только те отрезки, которые не понадобятся для следующего числа. Вот, как он будет работать с числом 137: "137":2 + 5 + 4 = 11 переключений (включение трех цифр числа "137"), 7 переключений (выключение отрезков, не нужных для числа "11"). 0 переключений (число "11" уже и так горит) "11":3 переключения (выключение первой единички и нижней части второй единички; верхняя часть остается гореть, поскольку она нужна для цифры "2"). "2":4 переключения (включение оставшихся отрезков цифры "2"), 5 переключений (выключение цифры "2"). Итого: 30 переключений. Понятно, что прибор Макса тратит меньше энергии. Так, при подсчете однозначной суммы цифр для числа 137 экономия составляет 10 единиц энергии. Найдите общую экономию энергии при подсчете однозначной суммы цифр для всех простых чисел, не превышающих 2×107.
Задачу решили:
4
всего попыток:
4
Обозначим через N(i) наименьшее натуральное число n, факториал которого n! делится на (i!)1234567890 . Сумма N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1000, равна 520804933959105. Найдите сумму N(i) для всех составных натуральных i, не превышающих 1 000 000. В качестве ответа укажите 18 младших разрядов результата.
Задачу решили:
1
всего попыток:
4
Широко известна игра, где один из участников задумывает целое число, а другой пытается его угадать, задавая вопросы. В этой задаче исследуется вариант такой игры, когда задумывают натуральное число из промежутка [1,n], а в качестве вопросов разрешается называть натуральные числа из этого же интервала. При этом стоимость каждого вопроса равна названному числу. Допускаются ответы трех видов:
Требуется определить задуманное число и при этом минимизировать суммарную стоимость вопросов (в дальнейшем – цена игры). Для данного числа n назовем стратегию оптимальной, если она минимизирует цену игры для самого неудачного задуманного числа. Например, при n=3 наилучшим первым ходом будет число "2". После этого при любом ответе можно будет точно определить задуманное число, поэтому больше вопросов не потребуется, и цена игры будет равна 2. Если n=8, мы могли бы выбрать в качестве стратегии "бинарный поиск". Если первым ходом мы назовем число "4", а задуманное число будет больше, чем 4, нам потребуется еще два вопроса. Пусть вторым ходом мы называем число "6". Если задуманное число больше, чем 6, нам потребуется еще один ход, скажем, "7", и цена игры составит 4+6+7=17. Мы можем существенно улучшить нашу стратегию для n=8, если первым ходом назовем число "5". Если задуманное число больше, чем 5, то вторым ходом мы можем назвать число "7", и этого будет достаточно для нахождения задуманного. Тогда цена игры составит 5+7=12. Если же задуманное число меньше, чем 5, то для его определения достаточно вторым и третьим ходом назвать "3" и "1", а цена игры составит 5+3+1=9. Поскольку 12 > 9, в худшем случае цена игры при этой стратегии будет равна 12. Получается, что данная стратегия более выгодна, чем предыдущая, и оказывается, что она оптимальна, то есть никакая другая стратегия не может гарантировать для n=8 результат меньший, чем 12. Пусть C(n) – максимальная цена игры, которая может получиться для оптимальной стратегии в худшем случае. Тогда C(1) = 0, C(2) = 1, C(3) = 2 и C(8) = 12. Можно подсчитать, что C(100) = 400. Найдите С(500000).
Задачу решили:
4
всего попыток:
6
Круглое болото разбито на секторы, перенумерованные по часовой стрелке числами от 1 до 500. Лягушка, сидящая в одном из секторов, может прыгнуть в один из двух соседних секторов с равной вероятностью. Перед тем, как прыгнуть, лягушка квакает. Если номер сектора, в котором сидит лягушка, является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "P" и с вероятностью 1/3 квакает "N". Если номер сектора, в котором сидит лягушка, не является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "N" и с вероятностью 1/3 квакает "P". Предположим, что в начальный момент лягушка может занимать любой из секторов с равной вероятностью. Подсчитайте вероятность того, что после 15 прыжков лягушачью песнь можно будет закодировать последовательностью PPPPNNPPPNPPNPN. Результат представьте в виде несократимой дроби, а в качестве ответа укажите ее числитель.
Задачу решили:
1
всего попыток:
3
Бесконечная последовательность a(n) определена для всех целых n следующим образом: Легко видеть, что , , , где e = 2,7182818... – основание натурального логарифма.
Общий член последовательности a(n) можно записать в виде с натуральными коэффициентами A(n) и B(n). Например, Найдите остаток от деления A(109) + B(109) на 77 777 777.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|