На каждую клетку доски N×N положили по шашке, окрашенной в белый цвет с одной стороны и в черный цвет с другой.

Каждым ходом разрешается перевернуть одну шашку, а вместе с нею N-1 шашек, стоящих  на одной с ней вертикали, и N-1 шашек, стоящих  на одной с ней горизонтали. Таким образом, каждым ходом игрок должен перевернуть 2×N-1 шашку. Игра заканчивается, когда все шашки будут стоять белой стороной вверх. Ниже приведен пример игры для доски 5×5.

Несложно проверить, чтобы закончить игру из данной начальной позиции, нужно как минимум 3 хода.

Пусть строки и столбцы перенумерованы целыми числами от 0 до N-1.

Построим на доске N×N начальную конфигурацию C_N. Для этого на клетку с координатами x и y положим шашку черной стороной вверх, если (N-1)²≤x²+y²<N², и белой стороной вверх в противном случае. Конфигурацию C₅ мы видели в приведенном примере.

Пусть T(N) – минимальное количество ходов, необходимых для окончания игры из начального положения C_N (если это невозможно T(N) = 0).

Ясно , что T(1)=T(2)=1. Мы видели, что T(5)=3. Можно проверить, что T(10)=29, а T(1000)=395253.

Найдите сумму T(k!) для 1≤k≤12.

Любое натуральное число может быть разбито на слагаемые вида 2ⁱ×3^j, где i,j ≥0, но в этой задаче мы будем рассматривать лишь те разбиения, у которых ни одно слагаемое не кратно другому. В дальнейшем будем называть такие разбиения специальными.

Например, разбиение числа 17 = 2 + 6 + 9 = (2¹×3⁰ + 2¹×3¹ + 2⁰×3²) не будет специальным, поскольку 6 кратно 2. Разбиение 17 = 16 + 1 = (2⁴×3⁰ + 2⁰×3⁰) тоже не специальное, так как 16 кратно 1. У числа 17 есть только одно специальное разбиение, а именно 8 + 9 = (2³×3⁰ + 2⁰×3²).

Некоторые числа имеют несколько специальных разбиений. Например, число 11 имеет два специальных разбиения:

11 = 2 + 9 = (2¹×3⁰ + 2⁰×3²) 

11 = 8 + 3 = (2³×3⁰ + 2⁰×3¹)

Обозначим через P(n) количество специальных разбиений числа n. Так, P(11) = 2.

Можно подсчитать, что сумма простых чисел q<100, для которых P(q)=2 равна 641.

Найдите сумму простых q < 1000000, для которых P(q)=2.

Вообразите бесконечный в оба конца ряд чаш, перенумерованных целыми числами.

В некоторых чашах лежат бобы. Разрешается делать ходы следующего вида: взять два боба из одной чаши и разложить их в две соседние. Игра заканчивается, когда сделать ход невозможно.

В примере на рисунке в две соседние чаши положили 2 и 3 боба, а остальные чаши оставили пустыми. Как видно, такую игру можно закончить за 8 ходов.

Рассмотрим последовательность целых чисел bi следующего вида:

b0 = 0, b1 = 289, b2 = 145

bi = (bi-1 + bi-2 + bi-3) mod 2013,

где x mod y означает остаток от деления x на у.

Пусть количество бобов в двух соседних чашах определяется числами b1 = 289 и b2 = 145, а остальные чаши в начальном положении пусты. В этом случае игру можно закончить за 3419100 ходов.

Подсчитайте, сколько ходов потребуется для завершения игры , если в начальном положении в чашах с номерами от 1 до 1500 лежит b1, b2, ... b1500 бобов, соответственно, а остальные чаши пусты.

"Передур же поехал дальше долиной реки, вдоль которой расстилались луга. И на одном берегу реки он увидел стадо белых овец, а на другом - стадо черных. И как только одна из белых овец блеяла, черная овца переплывала реку и становилась белой. Когда же блеяла черная овца, одна из белых овец переплывала реку и делалась черной"
Передур, сын Эвраука

Первоначально каждое стадо состоит из n овец. Каждая овца, независимо от масти, может заблеять в очередной раз. Передур стремится максимизировать количество черных овец. Для этого он может прогонять прочь любое количество белых овец, но делать это он может лишь после того, как заблеяла очередная овца и до того, как овца с противоположного берега вошла в реку.
Пусть E(n) – ожидаемое количество черных овец, которое останется у Передура при оптимальной стратегии. Например, E(5) ≈ 6.871346…
Найдите наименьшее n, для которого E(n)>20000.

Рассмотрим нечетное число 225 = 3² × 5².
225² = 50625 = 3⁴ × 5⁴ = 9² × 25². Поэтому функция Эйлера φ(50625) = 2 × 3³ × 4 × 5³ = 2³ × 3³ × 5³ .
Итак, число  50625 является квадратом, а φ(50625) является кубом.
Найдите сумму нечетных n, 1 < n < 10¹⁰ , для которых функция Эйлера φ(n²) является кубом натурального числа.

Полем игры из этой задачи является полоска из n клеток, а фишками — монеты.
Одна из этих монет — серебряный доллар — ценная, а остальные — медные — ценности не представляют. Игроки могут совершать ходы двух типов:
1. Сдвинуть любую монету влево на одну или несколько клеток. При этом поставить монету можно только на свободную клетку, и перескакивать через занятые клетки нельзя.
2. Забрать с доски монету, ближайшую к левому краю.
Если ходов первого типа нет, игрок обязан забрать самую левую монету.
Выигрывает тот, кто заберет серебряный доллар.

Выигрышной называется позиция, при которой очередной игрок, правильно выбирая ходы, может обеспечить себе победу независимо от действий второго игрока. Остальные позиции называются проигрышными.
Пусть L(n,c) – количество проигрышных позиций для поля из n клеток, на которое расставляют c медных монет и один серебряный доллар.
Можно проверить, что L(10,3)=150 и L(103,13)= 32792060838490304.
Найдите остаток от деления L(1000003,103) на 1000003.

В этой задаче мы будем рассматривать натуральные числа, имеющие ровно три простых делителя. Например, число 240 имеет простые делители 2,3 и 5. Это наибольшее число, не превышающее 250, имеющее эти три простых делителя и не имеющее других.

Для различных простых чисел p, q и r обозначим через M(p,q,r,N) наибольшее натуральное число, не превышающее N, которое делится на p, q и r, но не имеет других простых делителей. Если таких чисел нет, будем считать, что M(p,q,r,N)=0.

Например:

• M(2,3,5,250)=240.
• M(2,3,7,250)=168, а не 210, поскольку число 210 имеет 4 простых делителя.
• M(3,7,13,250)=0, поскольку нет натуральных чисел, не превышающих 250, которые делятся на 3, 7 и 13.

Пусть S(N) – сумма различных значений M(p,q,r,N) для всех сочетаний p, q и r. Так, S(250)= 4588.

Найдите  S(10 000 000).

Степени двойки, как известно, редко начинаются с цифры 9 (см. задачу 316). Так, первый раз это случается только для 53-й степени (2⁵³ = 9007199254740992). С двух девяток подряд начинается 93-я степень, а с трех девяток - только 2621-я.

Найдите минимальный показатель степени n такой, что десятичная запись числа 2ⁿ начинается с десяти девяток подряд.

Известно, что некий вирус поражает 2% овец. Ветеринару нужно выявить зараженных животных в стаде из 25 голов. При этом в его распоряжении имеется достаточно дорогой, но очень чувствительный метод анализа, позволяющий обнаруживать инфекцию в крови при крайне низких ее концентрациях.

Чтобы сэкономить дорогостоящие реактивы, ветеринар решил не проверять каждую овцу, а разработал следующую программу действий:
Он разбил стадо на 5 групп по 5 овец в каждой. Пробы крови для каждой группы были объединены и проанализированы. Затем, если в объединенной пробе вирус не обнаружен, все овцы из данной группы считаются здоровыми. В противном случае анализируются пробы крови для каждого из пяти животных группы.
Поскольку вероятность заражения отдельной овцы равна 0,02, первый тест для каждой группы даст
• Отрицательный результат с вероятностью 0,98⁵ = 0,9039207968. Для такой группы дополнительные тесты не понадобятся.
• Положительный результат с вероятностью 1 - 0,9039207968 = 0,0960792032. Для такой группы потребуется проанализировать еще 5 отдельных проб.
Тогда ожидаемое количество анализов для каждой группы составит 1 + 0,0960792032 × 5 = 1,480396016, а для всего стада – 1,480396016 × 5 = 7,40198008 тестов, то есть экономия составит более 70%!
Однако это не предел. Алгоритм можно еще усовершенствовать следующим образом:
• Сначала можно проанализировать объединенную пробу для всех 25 овец. Легко проверить, что примерно в 60,35% случаев результат будет отрицательный, и дальнейшее исследование не потребуется.
• Если групповая проба для 5 овец была положительной, и первые четыре овцы из группы оказались здоровы, то пятую можно не проверять – она наверняка инфицирована.
• Можно попробовать поварьировать размер и количество групп. Это позволит минимизировать ожидаемое количество анализов.
Чтобы не усложнять задачу, мы несколько ограничим круг рассматриваемых алгоритмов. Мы примем следующее дополнительное правило: если проанализирована объединенная проба для группы овец, то овцы, не входящие в данную группу, не исследуются, пока не поставлен окончательный диагноз каждой овце из данной группы.
Оставаясь в рамках данного правила, мы можем найти оптимальную стратегию, позволяющую ограничиться всего 4,155452 тестами в среднем для стада из 25 овец и вероятности заражения 0,02.
Обозначим через T(s,p) ожидаемое количество тестов при использовании оптимальной стратегии, когда стадо состоит из s овец, а вероятность заражения отдельной овцы равна p.
Тогда T(25, 0,02) ≈ 4,155452 и T(25, 0,10) ≈ 12,702124.
Найдите p, для которого T(10000, p)=5000. Результат умножьте на миллион и округлите вниз до целого.

В отеле "Инфинити" бесконечно много этажей, на каждом этаже бесконечно много комнат, а к администратору выстроилась бесконечно длинная очередь. И этажи, и комнаты на каждом этаже, и посетители перенумерованы подряд натуральными числами (1, 2, 3, …).
В начальный момент все комнаты отеля свободны. Чтобы поселить очередного гостя с номером n,  администратор выбирает самый нижний этаж, на котором либо пока никто не живет, либо последний поселившийся имеет такой номер m, что m+n является квадратом целого числа. Новый гость получает первый свободный номер на выбранном этаже.
 Гость №1 получает комнату №1 на первом этаже, поскольку на нем еще никто не живет.
 Гостя №2 нельзя поселить в комнате №2 на первом этаже, поскольку сумма 1+2=3 не является квадратом. Этого гостя можно поселить на втором, пока еще пустом этаже, в комнате №1.
 Гость №3 получает комнату №2 на первом этаже, поскольку сумма 1+3=4 является квадратом.
Таким образом, каждый гость получит свою комнату в отеле.
Обозначим через P(f, r) номер посетителя, живущего в комнате r на этаже f.
Тогда:
P(1, 1) = 1
P(1, 2) = 3
P(2, 1) = 2
P(10, 20) = 440
P(25, 75) = 4863
P(99, 100) = 19454
Найдите сумму P(f, r) для всех f и r, таких что f² + r² = 14234886498625 .