Пусть ABC – треугольник, внутренние углы которого меньше 120 градусов, и пусть X – некоторая точка внутри треугольника, XA = p, XB = q и XC = r.
Ферма предложил Торричелли найти такое положение X, для которого сумма p + q + r обращается в минимум.
Торричелли удалось доказать, что если на сторонах треугольника ABC построить равносторонние треугольники AOB, BNC и AMC и описать вокруг них окружности, эти окружности пересекутся в общей точке T, лежащей внутри треугольника. Кроме того, он доказал, что точка T (называемая ныне точкой Торричелли-Ферма) минимизирует сумму p + q + r.

Оказывается, что когда сумма p + q + r обращается в минимум, AN = BM = CO = p + q + r, а отрезки AN, BM и CO также пересекаются в точке T.

Если для некоторого треугольника все числа a, b, c, p, q и r оказываются целыми, мы будем называть его треугольником Торричелли. Примером такого треугольника может служить треугольник со сторонами a = 399, b = 455 и c = 511.

Найдите сумму всех различных периметров треугольников Торричелли, не превышающих 300000.

В лазерной физике используют системы зеркал, которые действуют как линии задержки для проходящего лазерного луча. Луч входит в систему, многократно отражается от зеркал и, в конце концов, выходит обратно.

Мы рассмотрим такую линию задержки, имеющую форму эллипса с уравнением 4x² + y²= 100.

В верхней части эллипса сделано отверстие −0.01 ≤ x ≤ +0.01 для входа и выхода луча.

В нашей задаче луч направляется из точки с координатами (0,0;10,1) внутрь эллипса, где испытывает первое отражение в точке (1,4;-9,6),

Луч отражается по обычному закону "угол падения равен углу отражения". Иначе говоря, падающий и отраженный луч образуют с нормалью в точке падения равные углы.

На рисунке слева красной линией показана траектория луча к первым двум точкам отражения. Синим обозначена касательная к эллипсу в первой точке отражения. Наклон касательной в точке эллипса с координатами (x,y) можно найти по формуле: m = −4x/y. Нормаль перпендикулярна касательной в точке падения.

На анимированной картинке справа показаны первые 10 отражений луча.

Какой длины путь проделает луч внутри эллиптической системы задержки? Результат округлите до целого.

Обозначим через reverse(n) число, состоящее из тех же цифр, что и натуральное число n, но записанных в обратном порядке.

Для некоторых n в десятичной записи суммы n + reverse(n) используются только нечетные цифры. Такие n назовем обратимыми. Например, числа 36, 63, 409 и 904 обратимы, поскольку 36 + 63 = 99 и 409 + 904 = 1313.

Помня, что десятичная запись чисел не может начинаться с нуля, можно подсчитать, что ровно 120 обратимых чисел не превышают тысячи.

А сколько обратимых чисел не превышает 10²¹?

В каждой ячейке квадрата размера 5 на 5 записана цифра. Квадрат будем считать простым, если каждая строка (слева направо), каждый столбец (сверху вниз) и обе диагонали (слева направо) являются простыми пятизначными числами. Сколько существует различных симметричных простых квадратов (т.е. таких, в которых первая строка равна первому столбцу, вторая строка - второму столбцу, и так далее, все 5)?

На рисунке изображена решетка размером 3x2, состоящая из вертикальных, горизонтальных и наклонных отрезков. Для данной решетка существует 37 прямоугольников, вершины которых лежат на узлах решетки.

Есть пять решеток меньшего размера: 1x1, 2x1, 3x1, 1x2 и 2x2 (каждое из измерений этих решеток не превосходит соответствующего измерения нашей решетки 3x2). Подсчитаем, сколько прямоугольников можно разместить на узлах этих решеток:

1x1: 1
2x1: 4
3x1: 8
1x2: 4
2x2: 18

Сложив все эти числа, получим, что 1+4+8+4+18+37=72 различных прямоугольников можно разместить на узлах решеток 3x2 и меньших.

Сколько различных прямоугольников можно разместить на узлах решеток 300x200 и меньших?

На координатной сетке на плоскости отмечены точки P_ij, где i и j - простые числа и 1≤i,j≤1000. Точки P_ij рассматриваются как вершины треугольников. Сколько треугольников являются равнобедренными?

Типография каждый день выполняет 16 заказов. Для каждого заказа необходим лист специальной бумаги формата A5.
Каждое утро бригадир открывает новый конверт, содержащий большой лист формата A1.

Он разрезает лист пополам. В результате получается два меньших листа формата A2, один из которых он снова режет пополам, и т.д., пока не получится лист формата A5.
Все неиспользованные листы он складывает обратно в конверт.
Приступая к выполнению следующего заказа, он берет из конверта наугад первый попавшийся лист. Если этот лист имеет формат A5, он сразу же идет в дело. Если же лист окажется больше, к нему применяется та же процедура "половинного деления", что и к исходному листу, пока не получится формат A5, а оставшиеся неиспользованными листы разного формата каждый раз убирают обратно в конверт.
Найдите среднее число раз в году, когда бригадир, открыв конверт, находит там ровно два листа. Считайте, что в году 249 рабочих дней, а результат округлите до целого.

Цепочки цифр (строки) создаются по следующему правилу:
Первая строка состоит из двух цифр "1". Каждая из последующих цепочек создается такими действиями: берется цифра, на единицу большая максимальной цифры, использовавшейся в предыдущей строке. Эта цифра вставляется в начало, в конец и между всеми цифрами предыдущей строки. Вот первые 4 строки, созданные по этому правилу:
(1) 11
(2) 21212
(3) 32313231323
(4) 43424341434243414342434

Таким образом, было построено еще 5 строк и в результате получена строка, содержащая цифры от 1 до 9 и состоящая из 767 цифр. Введите в ответ число состоящие из цифр стоящих на 300-м и 301-м местах от начала.

Всем известно, что уравнение x²=-1 не имеет решений для вещественных x.
Однако, перейдя в область комплексных чисел, мы найдем два корня: x=i и x=-i.
Уравнение (x-3)²=-4 имеет два решения: x=3+2i и x=3-2i. Их называют комплексно-сопряженными.
Гауссовыми целыми называют комплексные числа a+bi, у которых a и b целые. Обычные целые числа тоже, конечно, являются гауссовыми целыми с b=0. Чтобы отличить их от гауссовых целых с b≠0, мы будем называть их "рациональными целыми". Гауссово целое будем называть делителем рационального целого n, если частное также является гауссовым целым.
Например, если мы делим 5 на 1+2i, получим

Поскольку 1-2i – гауссово целое, число 1+2i является делителем 5.

С другой стороны, 1+i не является делителем 5, поскольку .

Заметим, что если гауссово целое (a+bi) является делителем рационального целого n, то и комплексно-сопряженное (a-bi) также будет делителем n.
Таким образом, число 5 имеет ровно 6 делителей с положительной вещественной частью: {1, 1 + 2i, 1-2i, 2 + i, 2-i, 5}.
В таблице приведены все делители с положительной вещественной частью первых пяти положительных рациональных целых.

Была исходная последовательность символов:
AAABBABB

В конец этой последовательности дописали ее копию, но развернутую зеркально (символы взяли в обратном порядке). Получилась строка:
AAABBABBBBABBAAA

Эту операцию повторили еще три раза, каждый раз дописывая в зеркальном отображении всю последовательность, полученную на предыдущем шаге. В результате получилась последовательность из 128 символов. В получившейся последовательности заменили все тройки идущих подряд символов BAB на ABA. Эту операцию повторяли до тех пор, пока тройки идущих подряд символов BAB не перестали встречаться в последовательности. Сколько букв B осталось в результирующей последовательности?