Лента событий:
avilow добавил комментарий к задаче "Одна аналитическая функция" (Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
1
всего попыток:
1
Обозначим через f(n) количество способов, которыми можно построить башню 3×3×n из блоков 2×1×1. Блоки можно вращать произвольным образом. При этом башни, отличающиеся поворотом или симметрией, считаются различными. Например, f(2) = 229, f(4) = 117805, f(6) = 64647289, f(63) mod 123456789 = 75292539, f(66) mod 123456789 = 56150940. Здесь a mod q означает остаток от деления a на q. Найдите f(612345) mod 123456789.
Задачу решили:
2
всего попыток:
2
Несколько комнат последовательно соединены автоматическими дверями, как показано на рисунке.
Двери открывают с помощью карт доступа. При этом каждую карту можно использовать лишь однажды: когда вы проходите в комнату, двери за вами автоматически закрываются, а карта не возвращается. Аппарат в начале маршрута может выдать вам в любое время любое количество карт без ограничений, однако система слежения не позволяет иметь на руках более трех карт одновременно. При нарушении этого правила срабатывает сигнал тревоги, а все двери запираются навсегда. Поэтому если вы возьмете при входе три карты и пойдете прямо к выходу, то в комнате №3 у вас карт не останется, и вы окажетесь в ней заперты с обеих сторон. К счастью, в каждой комнате есть сейф, куда можно складывать карты в любом количестве. Пользуясь этими сейфами, вы сможете достичь выхода. Например, вы можете войти в комнату № 1, использовав одну карту, положить вторую карту в сейф, а с помощью третьей карты вернуться к началу маршрута. Получив там в аппарате еще три карты, вы используете одну, чтобы войти в комнату №1 и взять там из сейфа оставленную карту. Теперь у вас в руках снова будет три карты, и этого достаточно, чтобы открыть три оставшиеся до выхода двери. Итак, вы можете пройти анфиладу из трех комнат, использовав всего 6 карт. 6 комнат можно пройти, используя 123 карты и не имея на руках более 3 карт одновременно. Пусть C - максимальное количество карт, которые можно иметь при себе. Пусть R - количество комнат, через которые нужно пройти от входа (“Start”) до выхода (“Finish”). Обозначим через M(C,R) минимальное количество карт, необходимых для прохода через R комнат, имея при себе не более C карт в каждый момент времени. Например, M(3,6)=123 и M(3,7)=366. Поэтому ΣM(3,R)=489 при 6≤R≤7. Можно подсчитать, что ΣM(5,R)=2841 при 1≤R≤15. Найдите ΣM(5,R) при 1≤R≤60.
Задачу решили:
4
всего попыток:
6
Круглое болото разбито на секторы, перенумерованные по часовой стрелке числами от 1 до 500. Лягушка, сидящая в одном из секторов, может прыгнуть в один из двух соседних секторов с равной вероятностью. Перед тем, как прыгнуть, лягушка квакает. Если номер сектора, в котором сидит лягушка, является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "P" и с вероятностью 1/3 квакает "N". Если номер сектора, в котором сидит лягушка, не является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "N" и с вероятностью 1/3 квакает "P". Предположим, что в начальный момент лягушка может занимать любой из секторов с равной вероятностью. Подсчитайте вероятность того, что после 15 прыжков лягушачью песнь можно будет закодировать последовательностью PPPPNNPPPNPPNPN. Результат представьте в виде несократимой дроби, а в качестве ответа укажите ее числитель.
Задачу решили:
0
всего попыток:
0
На каждую клетку доски N×N положили по шашке, окрашенной в белый цвет с одной стороны и в черный цвет с другой. Каждым ходом разрешается перевернуть одну шашку, а вместе с нею N-1 шашек, стоящих на одной с ней вертикали, и N-1 шашек, стоящих на одной с ней горизонтали. Таким образом, каждым ходом игрок должен перевернуть 2×N-1 шашку. Игра заканчивается, когда все шашки будут стоять белой стороной вверх. Ниже приведен пример игры для доски 5×5.
Несложно проверить, чтобы закончить игру из данной начальной позиции, нужно как минимум 3 хода. Пусть строки и столбцы перенумерованы целыми числами от 0 до N-1. Построим на доске N×N начальную конфигурацию CN. Для этого на клетку с координатами x и y положим шашку черной стороной вверх, если (N-1)2≤x2+y2<N2, и белой стороной вверх в противном случае. Конфигурацию C5 мы видели в приведенном примере. Пусть T(N) – минимальное количество ходов, необходимых для окончания игры из начального положения CN (если это невозможно T(N) = 0). Ясно , что T(1)=T(2)=1. Мы видели, что T(5)=3. Можно проверить, что T(10)=29, а T(1000)=395253. Найдите сумму T(k!) для 1≤k≤12.
Задачу решили:
2
всего попыток:
3
Сферическим треугольником называют фигуру на поверхности сферы, ограниченную дугами больших кругов, имеющими попарно общие концы.
Пусть C(r) – сфера с центром в начале координат (0,0,0) и радиусом r. Пусть Z(r) – множество точек сферы C(r) с целыми координатами. Пусть T(r) – множество сферических треугольников с вершинами, принадлежащими Z(r). Вырожденные сферические треугольники с вершинами, принадлежащими одному большому кругу, не включаются в T(r). Пусть A(r) – наименьшая площадь треугольника из T(r), а B(r) =(4πr2)/A(r) – величина, обратная доле площади сферы, которую занимает наименьший сферический треугольник. Например, A(14) ≈3,294040, а B(14) ≈ 748. Найдите максимальное значение B(r) для натуральных r, не превышающих 50. Результат округлите до ближайшего целого.
Задачу решили:
0
всего попыток:
12
Несколько чашек расставлены по кругу, и в каждой из них лежит одна горошина. Игрок совершает ходы следующим образом. Он берет все горошины из одной чашки и раскладывает их одну за другой в чашки, следующие за ней по часовой стрелке. При каждом следующем ходе горошины берут из той чашки, куда была положена последняя горошина на предыдущем ходе. Игра заканчивается, когда возвращается к исходному положению, т. е. в с каждой чашке снова оказывается по одной горошине. Вот игра для случая пяти чашек:
Как видно, для пяти чашек игра заканчивается за 15 ходов. Обозначим через M(x) количество ходов в игре с x чашками. Тогда M(5) = 15. Можно проверить, что M(100) = 10920. Найдите остаток от деления на 79.
Задачу решили:
1
всего попыток:
1
Будем вырезать из бумаги в клетку прямоугольники размером w × h клеток, где w и h – натуральные числа. Некоторые из них можно разрезать по клеточкам на две части так, что из этих частей составится новый прямоугольник другого размера.
Задачу решили:
0
всего попыток:
0
"Передур же поехал дальше долиной реки, вдоль которой расстилались луга. И на одном берегу реки он увидел стадо белых овец, а на другом - стадо черных. И как только одна из белых овец блеяла, черная овца переплывала реку и становилась белой. Когда же блеяла черная овца, одна из белых овец переплывала реку и делалась черной" Первоначально каждое стадо состоит из n овец. Каждая овца, независимо от масти, может заблеять в очередной раз. Передур стремится максимизировать количество черных овец. Для этого он может прогонять прочь любое количество белых овец, но делать это он может лишь после того, как заблеяла очередная овца и до того, как овца с противоположного берега вошла в реку.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|