Мы хотим приготовить пиццу круглой формы, состоящую из m?n ломтей-секторов одного размера, но с разной начинкой. У нас есть m≥2 сортов начинки, и каждый сорт мы должны использовать ровно для n ломтей.

Обозначим через f(m,n) количество способов приготовления пиццы, в которой будет ровно n ломтей, заправленных начинкой каждого из m сортов. Поскольку пиццу можно крутить как угодно вокруг вертикальной оси, но нельзя переворачивать начинкой вниз, зеркально симметричные варианты считаются различными, а варианты, отличающиеся только поворотом, предполагаются одинаковыми.

Например, f(2,1)=1,  f(2,2)=f(3,1)=2 и  f(3,2)=16.

Случай f(3,2) показан на рисунке:

Найдите сумму всех f(k,k), не превышающих 10¹⁵.

Функция Аккермана  рекурсивно задается для неотрицательных целых чисел  и  следующим образом:

Например, ,  и .

Чему равен остаток от деления  на 14⁸, где ?

Рассмотрим треугольник со сторонами 6,8 и 10. Легко подсчитать, что и его периметр, и его площадь равны 24, а отношение площади к периметру равно 1.

У треугольника со сторонами 13,14 и 15 периметр равен 42, а площадь — 84 единицам. Отношение площади этого треугольника к его периметру равно 2.

Подсчитайте, сколько существует различных треугольников с целыми сторонами, для которых отношение площади к периметру равно целому числу, не превышающему 1000.

Альберт выбирает натуральное число k и два случайных вещественных числа, a и b, равномерно распределенных на промежутке [0,1]. Затем он вычисляет квадратный корень из суммы (k·a + 1)² + (k·b + 1)² и округляет его вниз до целого. Если результат оказывается равным k, Альберт получает k очков, в противном случае он не получает ничего.
По окончании игры Альберт получает 1000 руб. за каждое очко.
Можно подсчитать, что после 10 туров с k=1, k=2,: k=10 математическое ожидание выигрыша составит примерно 12059 руб. 48 коп.
Каково будет математическое ожидание выигрыша после 10⁵ туров с k=1, k=2, k=3, ..., k=10⁵? Дайте ответ в копейках, округлив его до ближайшего целого.

Рассмотрим метод кодирования черно-белых изображений при помощи квадрадеревьев для квадратного изображения размером 2^N×2^N  однобитовых пикселей. Сгенерируем кодирующую последовательность из нулей и единиц по следующим правилам:

• Первый бит относится ко всему квадрату 2^N ×2^N
• "0" означает ветвление дерева, и текущий квадрат 2ⁿ×2ⁿ разделяется на четыре меньших квадрата размером 2^n-1×2^n-1. Следующие за нулем биты содержат описание этих четырех квадратов, сначала левого верхнего, затем правого верхнего, левого нижнего и правого нижнего (именно в этой последовательности).
• "10" означает, что данный квадрат содержит только черные пиксели;
• "11" означает, что данный квадрат содержит только белые пиксели.

В качестве примера рассмотрим изображение размером 4×4, где цветными крестиками обозначены точки ветвления.

В принципе, изображение может быть закодировано несколькими различными битовыми последовательностями, например, "001010101001011111011010101010" или "0100101111101110". Первая из этих последовательностей содержит 30 битов, а вторая – только 16, и эта длина является минимальной.

Рассмотрим теперь изображения размером 2^N×2^N, построенные следующим образом:

• Пиксель с координатами x=0, y=0 соответствует левому нижнему углу изображения,
• Если  (x-2^N-1)²+(y-2^N-1)² ≤ 2^2N-2 , то соответствующий пиксель черного цвета,
• Остальные пиксели - белые.

Для изображения данного типа с N=24 найдите кодирующую последовательность минимальной длины. Сколько единиц она содержит?

Рассмотрим многочлен N(p,q) = ΣT_n*pⁿ, где  p, q - натуральные числа, сумма берется для 0≤n≤q,  а коэффициенты T_n получены с помощью генератора случайных чисел:
S₀ = 290797
S_n+1 = S_n² mod 50515093
T_n = S_n mod p
Пусть Nfac(p,q) - факториал числа N(p,q), а N0(p,q) - количество нулей, на которое заканчивается число Nfac(p,q).
Например N0(5,10) = 735554.
Найдите остаток от деления N0(5,10⁷) на 5²⁵.

Обозначим через C(x,y) окружность, проходящую через точки (x, y), (x,y+1), (x+1,y) и (x+1,y+1).

Обозначим через E(m,n) объединение m×n окружностей C(x,y), где 0≤x<m, 0≤y<n, а x, y, m и n – целые числа.

Эйлеровым циклом на E(m,n) называется замкнутый путь, включающий каждую дугу каждой окружности ровно один раз. В этой задаче мы будем рассматривать только те эйлеровы циклы, которые не имеют самопересечений. При этом участки цикла могут касаться друг друга в точках с целыми координатами, но не должны пересекаться.

На рисунке показан пример эйлерова цикла без самопересечений на E(3,3).

Обозначим через L(m,n) количество эйлеровых циклов без самопересечений на E(m,n).

Например, L(1,2) = 2, L(2,2) = 37 и L(3,3) = 104290.

Найдите остаток от деления  L(6,13) на 6¹³.

Назовем простое число p числом Панаитопола (Panaitopol), если его можно представить в виде

p = (x⁴-y⁴)/(x³+ y³), где x и y — натуральные числа.

Найдите последние 8 цифр суммы чисел Панаитопола, не превышающих 5×10¹⁵.

Рассмотрим две окружности, у которых и центры, и точки пересечения имеют целочисленные координаты. Выпуклую область, ограниченную такой парой окружностей будем называть линзой, если она не имеет внутренних точек с целочисленными координатами. Радиусы окружностей, ограничивающих линзу, назовем радиусами линзы. На рисунке ниже показаны следующие окружности:

C₀: x²+y²=25
C₁: (x+4)²+(y-4)²=1
C₂: (x-12)²+(y-4)²=65

Линзы, заключенные между окружностями C₀ и C₁ и между C₀ и C₂, закрашены красным.

Обозначим через L(N) количество различных пар чисел (r1,r2), для которых существует линза с радиусами r1 и r2, и 0<r1≤ r2≤ N.

Можно проверить, что L(10) = 30 и L(100) = 3442.

Найдите Σ L(10^k), где 1 ≤ k ≤ 5.