Всем известно, что уравнение x²=-1 не имеет решений для вещественных x.
Однако, перейдя в область комплексных чисел, мы найдем два корня: x=i и x=-i.
Уравнение (x-3)²=-4 имеет два решения: x=3+2i и x=3-2i. Их называют комплексно-сопряженными.
Гауссовыми целыми называют комплексные числа a+bi, у которых a и b целые. Обычные целые числа тоже, конечно, являются гауссовыми целыми с b=0. Чтобы отличить их от гауссовых целых с b≠0, мы будем называть их "рациональными целыми". Гауссово целое будем называть делителем рационального целого n, если частное также является гауссовым целым.
Например, если мы делим 5 на 1+2i, получим

Поскольку 1-2i – гауссово целое, число 1+2i является делителем 5.

С другой стороны, 1+i не является делителем 5, поскольку .

Заметим, что если гауссово целое (a+bi) является делителем рационального целого n, то и комплексно-сопряженное (a-bi) также будет делителем n.
Таким образом, число 5 имеет ровно 6 делителей с положительной вещественной частью: {1, 1 + 2i, 1-2i, 2 + i, 2-i, 5}.
В таблице приведены все делители с положительной вещественной частью первых пяти положительных рациональных целых.

Пусть d(n) обозначает число всех натуральных делителей натурального числа n. Найдите максимальное значение величины d(n)⁵/n, кодга n пробегает числа от 1 до 10¹⁰⁰. Ответ округлите до ближайшего целого.

На рисунке изображена треугольная пирамида, составленная из шариков. Каждый шарик стоит на трех других шариках, расположенных в нижележащем слое.

Давайте теперь подсчитаем количество путей, ведущих из вершины к каждому из шаров.

Наш путь начинается с самого верхнего шара. На каждом шаге мы переходим к одному из трех шаров, на которых стоит текущий шар.

Таким образом, количество путей, ведущих к данному шарику, равно сумме количеств путей, ведущих к шарикам, расположенным непосредственно над ним (в зависимости от положения их может быть до трех).

То, что мы получили, называют пирамидой Паскаля, а числа на каждом уровне являются коэффициентами в триномиальном разложении выражения (x + y + z)ⁿ.

Найдите, сколько коэффициентов в разложении (x + y + z)¹²³⁴⁵⁶, кратных 4·10¹³.

Посмотрим на десятичную запись первых неотрицательных целых чисел:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12....

Выберем одну из цифр, например единицу (d=1), а затем начнем выписывать наши числа, подсчитывая количество использованных единиц. Обозначим полученное количество через  f(n,1) и запишем его против каждого числа n. Вот что получится:

n    f(n,1)
0    0
1    1
2    1
3    1
4    1
5    1
6    1
7    1
8    1
9    1
10    2
11    4
12    5

Заметьте, что f(n,1) не равно 3 ни при каких n.
Уравнение f(n,1)=n имеет решения n=0 и n=1, а следующее решение - только n=199981.

Аналогично, подсчитаем, сколько раз мы использовали цифру d, и обозначим полученное количество через f(n,d).
Заметим, что для каждой цифры d, кроме нуля, n=0 является первым решением уравнения f(n,d)=n.
Обозначим через s(d) сумму всех решений уравнения f(n,d)=n. Например, s(1)=22786974071.

Найдите ∑ s(d) при 0 ≤ d ≤ 9.

Замечание: Если для какого-то n f(n,d)=n для нескольких значений d, n необходимо учитывать каждый раз для каждой цифры d.

Индийский математик Д. Р. Капрекар известен своими работами по теории чисел. Одна из его работ посвящена так называемому преобразованию Капрекара. Рассмотрим следующую операцию. Пусть задано число x. Пусть M - наибольшее число, которое можно получить из x перестановкой его цифр, а m - наименьшее число (это число может содержать ведущие нули). Обозначим как K(x) разность M - m, дополненную при необходимости ведущими нулями так, чтобы число цифр в ней было равно числу цифр в x.
Например, K(100) = 100 - 001 = 099, K(2414) = 4421 - 1244 = 3177.
Капрекар доказал, что если начать с некоторого четырехзначного числа x, в котором не все цифры равны между собой, и последовательно применять к нему эту операцию (вычислять K(x), K(K(x)), . . . ), то рано или поздно получится число 6174. Для него верно равенство
K(6174) = 7641 - 1467 = 6174, поэтому на нем процесс зациклится.
Найдите минимальное число, меньшее миллиона, такое что в результате некоторой последовательности операций K(x), K(K(x)),... получается максимальное число.

Рассмотрим диофантово уравнение ¹/_a+¹/_b= ^p/_10ⁿ, где a, b, p, n - положительные целые числа, и a ≤ b. При n=1 это уравнение имеет 20 приведенных ниже решений:

А сколько решений будет иметь это уравнение при n=16?

Составное число может быть разложено на множители разными способами. Например, (если не учитывать умножение на 1) число 24 может быть разложено на множители семью различными способами:
24 = 2×2×2×3
24 = 2×3×4
24 = 2×2×6
24 = 4×6
24 = 3×8
24 = 2×12
24 = 24
Напомним, что "цифровым корнем" десятичного числа называют величину, получаемую суммированием его цифр. Если в результате получается число большее, чем 9, эту операцию повторяют несколько раз до тех пор, пока не получится число, меньшее, чем 10. Например, цифровой корень числа 467 равен 8.

Теперь для каждого разложения числа 24 найдем сумму цифровых корней сомножителей:

Рассмотрим строку, состоящую из последовательных первых 10⁹ знаков числа π после запятой. Найти минимальное число не входящее в качестве подстроки в эту строку.

Для натурального N вычислим N!, отбросим все нули справа, возьмем число, образованное четырьмя последними цифрами, и обозначим его через f(n).

Например:

9! = 362880 и f(9)=6288

10! = 3628800 и f(10)=6288

20! = 2432902008176640000 и f(20)=7664

Найдите f(10¹⁴).

Найти наименьшее натуральное число x такое, что существует целое y>x и (x+i)/(y+j) являются сократимыми дробями для всех i,j = 0,1,2,...,9.