Рассмотрим число
G(n) = (n²)!/(n!)ⁿ,
где n – натуральное. Несложно показать, что G(n) – тоже натуральное число.
Например, G(3)=1680. Разложим 1680 на простые множители, а затем их сложим:

1680=2⁴×3×5×7=2×2×2×2×3×5×7,
и
2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 5 +7 = 23.
Таким образом, сумма простых множителей числа G(3) равна 23.

Найдите сумму простых множителей числа G(4444).

Братья-математики Коля и Даня решили поиграть по следующим правилам.
Коля бросает монетку и, если выпадает орел, получает на свой счет очко, а если решка – не получает ничего.
Даня выбирает натуральное число T и бросает монетку T раз. Если при этом хотя бы раз выпадает решка, Даня не получает ничего, но если T раз выпадет орел, он получает сразу 2^T-1 очков.
Цель игры – набрать первым ровно 100 очков. Если игрок (очевидно, это может быть только Даня) наберет больше 100 очков, он считается проигравшим.
Какова вероятность выигрыша Дани, если он будет играть наилучшим образом, а первым ходит Коля?
Результат умножьте на 1000000 и округлите вниз до целого.

Обозначим через σ(n) сумму делителей натурального числа n, например σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
Для совершенных чисел n, как вы, вероятно, знаете, σ(n) = 2n. Поэтому назовем коэффициентом совершенства отношение p(n)=σ(n) / n. У совершенных чисел коэффициент совершенства равен 2.
Найдите сумму таких натуральных n < 10¹⁸, у которых коэффициент совершенства является несократимой дробью со знаменателем 3.

Напомним, что функция Эйлера φ(n) определена для натуральных аргументов n и равна количеству натуральных чисел, не больших n и взаимно простых с ним.
6227180929 является наименьшим числом, для которых φ(n)=13!
Найдите сумму всех n, для которых φ(n)=13!

Дано множество простых чисел, не превышающих 5000:
S = {2, 3, 5, ..., 4999}
Найдите, сколько оно содержит подмножеств, у которых количество элементов нечетно, а сумма элементов является простым числом.
В качестве ответа укажите последние 16 знаков результата.

Найдите количество непустых подмножеств множества

{1²⁵⁰²⁵⁰, 2²⁵⁰²⁴⁹, 3²⁵⁰²⁴⁸,... , 250249², 250250¹},

у которых сумма элементов кратна числу 250. В качестве ответа укажите 16 младших десятичных цифр результата.

Мальчику подарили развивающую игру-пазл "числовая змейка", состоящую из 40 фигурных элементов, которые можно собирать цепочкой один за другим и только в определенной последовательности. Элементы перенумерованы в соответствии с этой последовательностью числами от 1 до 40.

Каждый вечер папе приходится собирать элементы, разбросанные по полу в детской. Он подбирает их по одному случайным образом и сразу ставит на нужное место. При этом они образуют несколько готовых отрезков из нескольких идущих подряд элементов, должным образом соединенных между собой. Понятно, что сначала, до того как папа начинает выкладывать змейку, таких отрезков нет, когда он кладет первый элемент, получается один отрезок, состоящий из единственного элемента, а в конце работы остается  также один отрезок, состоящий из всех 40 элементов. По ходу дела количество готовых отрезков может увеличиваться и уменьшаться, достигая в какой-то момент максимума. Вот пример его работы:

Обозначим через M максимальное количество готовых отрезков, которое достигалось в процессе сборки. В таблице ниже приведено количество вариантов сборки, при которых наблюдаются максимальные числа отрезков M для змейки, состоящей из 10 элементов.

Как видно, наиболее вероятное значение M равно 3, и оно реализуется 1815264 различными способами, а 181526 — это первые шесть значащих цифр данного числа.
Найдите наиболее вероятное значение M для змейки из 40 элементов и количество способов сборки, при которых достигается это число. В качестве ответа укажите первые шесть значащих цифр результата.

Определим f(n) как сумму факториалов цифр числа n. Например, f(342) = 3! + 4! + 2! = 32.
Определим sf(n) как сумму цифр числа f(n). Например, sf(342) = 3 + 2 = 5.
Определим g(i) как наименьшее натуральное n, для которого sf(n) = i. Так, sf(342) = 5 и sf(25) = 5, и при этом можно проверить, что  наименьшим n, для которого sf(n) = 5 является число 25, поэтому g(5) = 25.
Определим sg(i) как сумму цифр числа g(i). Например, sg(5) = 2 + 5 = 7.
Для некоторых i значения sg(i) совпадают. Например, sg(5)=sg(10)=7;
Можно проверить, что сумма различных значений sg(i) при 1 ≤i ≤20 равна 108.
Найдите сумму различных значений sg(i) при 1 ≤i≤150.

Последовательность g(k) задана следующим образом:
g(k) = 1, при 0 ≤k ≤1999
g(k)= g(k-2000) + g(k-1999), при k ≥2000.
Найдите остаток от деления суммы g(10⁰)+ g(10¹)+ g(10²)+…+ g(10¹⁸) на 12344321.

Будем называть натуральное число достижимым, если оно является значением выражения, построенного по следующим правилам:
1. В выражении должны быть использованы все цифры от 1 до 9 в порядке возрастания, каждая ровно по одному разу.
2. Несколько последовательных цифр могут быть объединены в десятичное число, например, цифры 2,3 и 4 могут быть объединены в число 234.
3. Можно использовать четыре арифметических действия, каждое из них может быть использовано любое количество раз или не использовано вовсе.
4. Пользоваться унарным минусом нельзя
5. Можно  использовать любое количество вложенных пар скобок для задания порядка действий.
Например, число 42 достижимо, поскольку  (1/23) * ((4*5)-6) * (78-9) = 42.

Сколько всего существует достижимых чисел?