![]()
Лента событий:
vcv решил задачу "Два параллелограмма" (Математика):
![]()
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
10
всего попыток:
12
Будем называть четное натуральное число N приемлемым, если все его различные простые делители являются последовательными простыми числами. В частности, все положительные степени 2 являются приемлемыми. Число N=630 приемлемо, поскольку оно четно, а его различные простые множители – 2,3,5,7 – это последовательные простые числа. Число N=660 неприемлемо, поскольку в последовательности его простых множителей – 2,3,5,11 – пропущено простое число 7. Если N – приемлемое число, то наименьшее число M>1, для которого N+M – простое число, будем называть псевдо-форчуновым числом приемлемого числа N. Найдите наименьшее приемлемое N, для которого псевдо-форчуново число равно 97. ![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
7
Для натурального числа k обозначим через d(k) сумму его десятичных цифр. Например, d(42) = 4+2 = 6. Обозначим через S(n) количество натуральных чисел k < 10n, таких что
Можно подсчитать, что S(9) = 5464, и S(20) = 36035277144875036. Найдите остаток от деления S(2012) на 109. ![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
4
Как известно, каждый член последовательности Фибоначчи является суммой предыдущих двух. Начав с чисел 1 и 2, получим последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Каждое натуральное число может быть единственным образом записано в виде суммы некоторого набора различных чисел Фибоначчи, не содержащего пары соседних чисел Фибоначчи. Например, 100 = 3 + 8 + 89. Такую сумму называют представлением Цекендорфа. Обозначим через z(n) число слагаемых в представлении Цекендорфа для натурального числа n. Тогда z(5)=1, z(14)=2, z(100)=3. ∑z(n) для всех шестизначных n равна 7236250. Найдите ∑z(n) для всех 17-значных n. ![]()
Задачу решили:
2
всего попыток:
5
Лёва и Петя поспорили, у кого лучше память, и решили проверить. Для этого они обзавелись генератором случайных чисел, настроили его на получение случайных чисел от 1 до 10 и стали соревноваться, кто больше чисел запомнит. По условию игры участник получает очко, если очередное число все еще хранится в его памяти. Побеждает тот, кто набрал больше очков. По ходу дела выяснилось, что и Лёва, и Петя могут удержать в голове не более пяти разных чисел. Если игрок уже помнит пять чисел, то чтобы запомнить следующее, не содержащееся к этому моменту в его памяти, он вынужден забыть одно из имеющихся. Однако оказалось, что забывание происходит несколько по-разному:
В начале соревнования память игроков свободна. Вот пример начала игры:
Обозначим количество очков, которые Лёва и Петя набрали после 50 туров через L и P, соответственно. Найдите математическое ожидание величины (L-P)2, результат умножьте на 108 и округлите до ближайшего целого. ![]()
Задачу решили:
6
всего попыток:
7
В сильно упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH. В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2n. Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки. На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)
В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе. Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки. 77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H. Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H? ![]()
Задачу решили:
9
всего попыток:
17
Ним – это игра, в которой двое участников по очереди берут камни, разложенные на несколько кучек. Каждым ходом игрок должен взять из одной кучки один или несколько камней, но хотя бы один – обязательно! Проигрывает тот, кому камней не досталось, и кто поэтому не может сделать ход. Мы рассмотрим наиболее популярную версию игры с тремя кучками камней. Пусть начальная позиция описывается тройкой чисел (n1,n2,n3), где n1,n2 и n3 - количество камней в каждой из трех кучек.
Например, позиция (0,n,n) – проигрышная для любых n, ибо второй игрок всегда может выравнивать количество камней в двух оставшихся кучках, пока в них что-то остается. По этой же причине позиция (1,2,3) – тоже проигрышная, ибо второй игрок своим ходом всегда может создать позицию вида (0,n,n), например: Первый игрок: (1,2,1) Второй игрок: (1,0,1) Первый игрок: (0,0,1) Второй игрок: (0,0,0) – победа. Подсчитайте, сколько существует проигрышных позиций вида (n,2n,3n), где n – натуральное число, не превышающее 1012. ![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
5
Назовем натуральное число n мощным, если для его любого простого делителя p число n делится также на p2. Назовем натуральное число n точной степенью, если оно является степенью другого натурального числа. Назовем натуральное число n ахиллесовым, если оно мощное, но не является точной степенью. Например, числа 864 = 25•33 и 1800 = 23•32•52 — ахиллесовы. Назовем натуральное число S сильно ахиллесовым, если и S, и φ(S) — ахиллесовы. Здесь φ(S) означает функцию Эйлера. Например, число 864 — сильно ахиллесово число, поскольку φ(864) = 288 = 25•32, а число 1800 — ахиллесово, но не сильно ахиллесово, так как φ(1800) = 480 = 25•31•51. Существует 2 трехзначных и 5 четырехзначных сильно ахиллесовых чисел, а восьмизначных насчитывается 396. Найдите количество 18-значных сильно ахиллесовых чисел. ![]()
Задачу решили:
14
всего попыток:
17
Для каждого натурального числа n определим f(n) как наименьшее натуральное число, кратное n, десятичная запись которого состоит из нулей, двоек и троек. Например, f(1)=2, f(3)=3, f(4)=f(5)=f(10)=20, f(7)=203, f(9)=333, f(89)= 20203. Можно подсчитать, что f(1)/1 + f(2)/2 + f(3)/3+ ... + f(100)/100 = 19443 Найдите f(1)/1 + f(2)/2 + f(3)/3+ ... + f(10000)/10000 ![]()
Задачу решили:
7
всего попыток:
11
Как известно, последовательность Фибоначчи определяется рекуррентно: f(0)=0 , f(1)=1, и f(n)=f(n-1)+f(n-2) при n>1. Найдите Σf(pi), где pi – простые числа, и 1014< pi <1014+5*106. Остаток от деления полученной суммы на 1234567891011 будет ответом к этой задаче. ![]()
Задачу решили:
3
всего попыток:
8
Рассмотрим бесконечную строку S, состоящую из записанных подряд натуральных чисел в десятичной записи: S =1234567891011121314151617181920212223242... Ясно, что десятичная запись каждого натурального числа n встретится в строке S бесконечно много раз. Будем отмечать, где именно встретились такие вхождения. Например, число 12 первый раз встретится, начиная с позиции 1 строки S, а второй раз — с позиции 14, и так далее. Обозначим через f(n) номер позиции в строке S, с которого начинается n-ое вхождение числа n. Например, f(1)=1, f(5)=81, f(11)=235, а f(7780)=111111365. Найдите ∑f(11k), где 1≤k≤6.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|