Найдите минимальное натуральное число, которое увеличивается в два раза после перестановки его последней цифры в начало числа. (Все остальные цифры сдвигаются при этом вправо.)

Имеется 729 карточек со всеми трёхзначными номерами от 111 до 999, состоящими из цифр от 1 до 9, и 81 ящик со всеми двузначными номерами от 11 до 99, опять-таки не содержащими нулей. Каждую карточку можно положить в ящик с номером, который получается вычёркиванием одной из цифр номера карточки. Например, карточку 123 можно положить в ящики 12, 13 и 23. Какое наибольшее число ящиков могут оказаться пустыми после того, как все карточки разложены по ящикам указанным образом?

Найти максимальное значение выражения

|...|x₁−x₂|−x₃|−x₄|...−x₉₉₈|−x₉₉₉|,

где x₁, x₂, x₃, x₄, ..., x₉₉₈, x₉₉₉ — различные натуральные числа от 1 до 999.

Вам нужно попасть в тайную комнату. У входа в неё стоит диск (на картинке синий) с четырьмя отверстиями (на картинке жёлтыми), расположенными в вершинах квадрата.

Внутри каждого отверстия спрятан переключатель, имеющий 2 положения: от центра диска (на картинке белое) и к его центру (на картинке чёрное). Разрешается засунуть руки в какие-либо 2 отверстия, пощупать, как стоят переключатели, и переключить один из них или оба. (Ничего не переключать нельзя!) После этого диск приходит в быстрое вращение, так что после его остановки уже нельзя установить, в какие именно отверстия Вы засовывали руки в прошлый раз. Дверь в комнату открывается, если во время вращения диска все переключатели стоят одинаково (все к центру или все от центра). Какое наименьшее число раз нужно засунуть руки в отверстия, чтобы гарантированно попасть в тайную комнату при полном отсутствии везения? Учтите, что исходные положения переключателей неизвестны — они могут стоять вразнобой...

У Вас есть два одинаковых стеклянных шарика. Вы бросаете их — можно по одному — с разных этажей 36-этажного небоскрёба, чтобы выяснить, на каком этаже они начинают разбиваться от падения. (Например, на пятом уже разбиваются, а на четвёртом еще нет.) Разрешается сделать не более n бросков и разбить оба шарика. Найдите минимальное значение n, при котором ещё возможно гарантированно определить, при броске с какого именно этажа шарики начинают разбиваться. Учтите, что шарик может разбиться и на первом этаже, а может не разбиться и на последнем.

В стране 21 аэропорт. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждой из которых разрешается совершать любые рейсы между 5 аэропортами. При каком наименьшем числе авиакомпаний можно перелететь из любого аэропорта в любой другой без пересадки?

На 101 шаре написаны различные натуральные числа от 2 до 102, а на 101 ящике — различные натуральные числа от 1 до 101. Сколькими способами можно разложить шары по ящикам (в каждый ящик по одному шару) так, чтобы номер шара делился на номер ящика?

На клетчатой бумаге со стороной клетки 5 мм нарисована окружность радиуса 10 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Какое минимальное число клеток она может пересекать?

Клетки шахматной доски раскрашены не в два цвета, а в несколько. Расстоянием между двумя клетками называется длина кратчайшего пути обычной шахматной ладьи от одной клетки до другой. (Длины сторон клеток равны единице.) Известно, что любые две клетки, находящиеся на расстоянии 6, — разных цветов. В какое наименьшее число цветов могут быть раскрашены клетки такой доски?

Прямоугольный треугольник с углом 45° разрезан на n>1 подобных ему треугольников, никакие два из которых не совпадают по размерам. Найдите наименьшее возможное значение n.