Между столбами А₁ и А₂ натянут провод длинной 48 м. Воробей вначале сел в середину А₃ провода А₁А₂, затем прыгнул в середину А₄ отрезка А₂А₃, затем прыгнул в середину А₅ отрезка А₃А₄, и т.д. Прыгая так бесконечно долго, воробей стремится к некоторой точке В. Найдите расстояние А₁В.

Имеется набор равносторонних треугольников из бумаги, в котором:
n треугольников со стороной 1,
(n-1) треугольников со стороной 2,
................................................
2 треугольника со стороной (n-1),
1 треугольник со стороной n. 

Оказалось, что всеми треугольниками из этого набора можно оклеить без пробелов и наложений поверхность правильного тетраэдра, длина ребра которого является натуральным числом N. При оклейке треугольники можно перегибать через ребро тетраэдра.

Сколько треугольников в этом наборе, если N принимает наименьшее возможное значение.  

Пространственный крест, изображенный на рисунке, составлен из семи единичных кубиков.

Ученик отметил вершины всех единичных кубиков этой фигуры и вычислил расстояния между парами различных вершин. Он утверждает, что ему удалось найти такие расстояния: √1, √2, √3, √4, √5, √6, √7, √8, √9, √10, √11, √12. Сколько ошибок допустил ученик?

Ковер Серпинского представляет собой бесконечное разбиение квадрата на меньшие квадраты.

Построение выполняется поэтапно: на первом шаге исходный квадрат разбивается на девять равных квадратов и центральный квадрат закрашивается; на втором этапе каждый из оставшихся незакрашенных квадратов разбивается на девять меньших квадратов и центральный квадрат закрашивается, и так до бесконечности. На рисунке показаны разбиения квадрата, которые получаются после первых трех шагов. Сколько закрашенных и незакрашенных квадратов вместе получается на пятом шаге построения ковра Серпинского? 

Вычислите значение выражения .

Ёлочка, изображенная на рисунке, получается из квадрата в результате бесконечного процесса следующим образом: квадрат по диагонали разрезается на два треугольника, один из них ложится в основание ёлочки, второй разрезается на два равных треугольника, один из них идет на построение ёлочки, второй разрезается на два равных треугольника, и так строится постоянно растущая ёлочка. Найдите величину угла АЕС. Ответ выразите в градусах, округлив до ближайшего целого числа.

Последовательность задана рекуррентным способом: a₁=2, a₂=2, a_n+2=a_n+1/a_n. Найдите сумму 1730 первых членов этой последовательности.

Вершину С правильного треугольника АВС соединили отрезком с точкой M, делящей сторону AB в отношении 3:5.

В образовавшиеся при этом два треугольника вписали круги, площадь меньшего из них равна 52. Найдите площадь большего круга.

Если бумажную полосу единичной ширины завязать простым узлом так, чтобы он стал плоским, то узел примет форму правильного пятиугольника (рис. слева).

Пятиугольник на рисунке справа получен из бумажной полосы завязыванием пяти таких узлов. Чему равна длина полосы, если в сложенном виде её противоположные концы совпадают с отрезком АВ. Ответ округлите до целого числа.

Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной параболой  у=2020-х² и осью Ох?