На почтовой марке, посвященной Международному математическому конгрессу 1998 года в Берлине, изображено разбиение прямоугольника на 11 квадратов с целочисленными сторонами.

Найдите длину стороны наибольшего квадрата, если длина стороны самого маленького квадрата принимает наименьшее целое значение.

Ёлочка, изображенная на рисунке, получается из квадрата в результате бесконечного процесса следующим образом: квадрат по диагонали разрезается на два треугольника, один из них ложится в основание ёлочки, второй разрезается на два равных треугольника, один из них идет на построение ёлочки, второй разрезается на два равных треугольника, и так строится постоянно растущая ёлочка. Найдите величину угла АЕС. Ответ выразите в градусах, округлив до ближайшего целого числа.

Гипотрохоида - плоская кривая, задаваемая фиксированной точкой круга, который катится без скольжения по внутренней стороне другой окружности. Гипротрохоиды можно рисовать с помощью спирографа. На рисунке слева изображено кольцо и диск спирографа.

Чтобы диск при движении не скользил, на нем и на внутренней окружности кольца сделаны зубья. Карандаш, вставленный в одно из отверстий диска, при вращении оставляет на бумаге след - гипотрохоиду, здесь незаконченная красная линия. 

На рисунке справа изображена одна из гипотрохоид. Она нарисована другой парой спирографа, на внутренней окружности кольца которого имеется 96 зубьев. Сколько зубьев на диске?

Дан треугольник A₁A₂A₃ со сторонами  A₁A₂=21, A₂A₃=17, A₁A₃=10. Воробей вначале сел в точку A₄ пересечения медиан треугольника A₁A₂A₃, затем прыгнул в точку A₅ пересечения медиан треугольника A₂A₃A₄, затем прыгнул в точку A₆ пересечения медиан треугольника A₃A₄A₅, и т.д. Прыгая так бесконечно долго, воробей стремится к некоторой точке A.

Найдите сумму квадратов расстояний от точки A до всех вершин треугольника A₁A₂A₃.

Имеется 14 кубиков: два кубика с числом 1, два кубика с числом 2, два кубика с числом 3 и так далее, два кубика с числом 7. Расположите эти кубики в ряд так, чтобы между кубиками с числом 1 был ровно 1 кубик, между кубиками с числом 2 было ровно 2 кубика, и так далее, между кубиками с числом 7 было ровно 7 кубиков. Построенное решение определяет 14-значное число, записанное цифрами от 1 до 7. Поскольку кубики можно расставить несколькими способами, то в ответе укажите наименьшее 14-значное число, соответствующее полученному решению.

Для примера, на рисунке показано решение для 8 кубиков с числами от 1 до 4 и число 23421314, соответствующее этому решению.

Одна из вершин куба симметрично отражена относительно центра каждой его грани. Полученные таким образом шесть точек являются вершинами выпуклого многогранника. Найдите его объём, если объём куба равен 36.

Вершину С правильного треугольника АВС соединили отрезком с точкой M, делящей сторону AB в отношении 3:5.

В образовавшиеся при этом два треугольника вписали круги, площадь меньшего из них равна 52. Найдите площадь большего круга.

Бумажный лист в форме квадрата 8х8, содержит 64 квадратные клетки, которые раскрашены в три цвета так, как на рисунке. Обратная сторона листа – зеленая. Сделав несколько сгибов, сложите этот лист в форме квадрата 4х4 так, чтобы лицевая сторона его состояла из 16 белых клеток, а обратная – из 16 черных. В ответе укажите наименьшее число сгибов.

Уточнения: Сгиб – это поворот на 180° одной части фигуры вокруг некоторого отрезка прямой этой фигуры. Резать или рвать бумажный квадрат – нельзя. Промежутки между клетками не учитываются.

Если бумажную полосу единичной ширины завязать простым узлом так, чтобы он стал плоским, то узел примет форму правильного пятиугольника (рис. слева).

Пятиугольник на рисунке справа получен из бумажной полосы завязыванием пяти таких узлов. Чему равна длина полосы, если в сложенном виде её противоположные концы совпадают с отрезком АВ. Ответ округлите до целого числа.

На листе бумаги нарисована одна из разверток куба, состоящая из шести равных квадратов. Сложите этот лист, сделав несколько сгибов, и сделайте только один прямолинейный разрез ножницами так, чтобы лист оказался разрезан на две части, одна из которых – развертка куба. В ответе укажите наименьшее число сгибов.

Уточнения: сгиб – это поворот на 180° одной части фигуры вокруг некоторого отрезка прямой этой фигуры.