Найдите четырехзначное число, удовлетворяющее условию:
 , где каждая буква в выражении - это цифра, а вместе они образуют десятичное число.

Десять пронумерованных фишек расположены в форме треугольника.

За один ход любые три соседние фишки можно повернуть вокруг их общего центра на угол 120° так, чтобы они циклически переместились, причем, как по часовой стрелке, так и против неё. Здесь всего девять троек  фишек, которые можно поворачивать. За какое, наименьшее число ходов можно из данного слева расположения фишек получить расположение, изображенное справа?

В натуральном ряду чисел найдите отрезок [m;n], сумма всех чисел которого равна s, причем числа m, n и s - различные квадраты. В ответе укажите наименьшую возможную сумму s.

На доске рисуют звезду - замкнутую пятизвенную ломаную. Во внутренний пятиугольник этой звезды вписывают ешё одну звезду и так далее, как показано на рисунке.

Сколько треугольников будет нарисовано, когда число звёзд, построенных таким образом, достигнет 100?

Обратите внимание, что здесь кроме красных и белых треугольников имеются красно-белые треугольники.

Бумажную полосу 1х50 расчертили на единичные квадраты, пронумеровали их по порядку числами от 1 до 50, после чего полосу разрезали на десять малых полос 1х5. Пять вертикальных и пять горизонтальных полос переплели друг с другом так, что единичные квадраты каждой полосы чередуются положением верх-низ. Получился числовой квадрат или матрица 5х5. Одна из возможных плетенок и соответствующая ей матрица показана на рисунке.

Сколько различных матриц 5х5 может получиться? Поворот на угол кратный 90 градусам новой матрицы не дает, ориентация чисел значения не имеет.

В квадратную рамку из дерева вбито по три гвоздя параллельно друг другу с каждой стороны. Меняя глубину погружения гвоздей, добейтесь такого расположения, чтобы каждый гвоздь пересекал ровно n гвоздей (разумеется в проекции). Выясните, при каких значениях n выполняется условие задачи. В ответе укажите  сумму всех таких значений n.

На приведенном рисунке показано решение при n=1.

Первые десять натуральных чисел разбейте на пары так, чтобы из пяти прямоугольников с длинами сторон, соответствующих парам, можно было сложить квадрат. В ответе укажите площадь наибольшего такого квадрата.

Клетки таблицы 7x13 раскрашены в чёрный и белый цвета. Пар соседних клеток разного цвета всего 60, пар соседних клеток белого цвета всего 78. Сколько пар соседних клеток черного цвета?

Каждая фигурка тридомино состоит из трех домино. Домино – это прямоугольник 1х2. Соседние домино в каждой фигурке имеют общую границу длиной 1 или 2. Найдите полный набор фигурок «тридомино». Из k фигурок этого набора можно сложить прямоугольник 6хk, например, на рисунке показан прямоугольник 6х10, сложенный из десяти фигурок.

Сложите прямоугольник, употребив большее число фигурок найденного набора, причем, каждую фигурку можно использовать один раз. В ответе укажите наибольшее значение k.

Уточним: 1) две фигурки различны, если их контуры нельзя совместить;

2) при построении прямоугольника фигурки можно как угодно поворачивать и переворачивать.

В числовом равенстве
ДОМА :  Я = ДО + МАЯ
одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные. Найдите значение каждой буквы. В ответе укажите число, обозначаемое буквами ДОМАЯ.