В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ концы отрезка KF лежат на диагоналях AD₁ и B₁C и он параллелен плоскости основания ABCD. Точка М – точка пересечения отрезка KF с диагональной плоскостью A₁BCD₁. Геометрическое множество точек М образует линию, которая делит прямоугольник A₁BCD₁ на две части. Найдите отношение площади меньшей части к площади большей.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 проведен отрезок, соединяющий вершину A куба с центром грани A₁B₁C₁D₁. Этот отрезок начинает непрерывно «скользит» своими концами по двум скрещивающимся диагоналям AC и B₁D₁ противоположных граней куба, не меняя своей длины. Двигаясь таким образом, отрезок задает линейчатую поверхность, изображенную на рисунке.

Объём тела, ограниченного этой поверхностью, будет иметь вид kπ. В ответе укажите числовой множитель k.

В квадрате построена 13-звенная ломаная, концами которой являются его диагональные вершины и соседние звенья перпендикулярны. Длины её звеньев – это целые числа от 1 до 13.

В каком отношении эта ломаная делит площадь квадрата? В ответе укажите отношение площади желтой части к зеленой. 

Внутри цилиндра расположен куб ABCDA₁B₁C₁D₁ так, что все его вершины лежат на поверхности цилиндра, причем вершины B и D₁ совпадают с центрами оснований, а остальные вершины лежат на боковой поверхности цилиндра. Найдите объем цилиндра, если квадрат ребра куба равен 27. Объём цилиндра будет иметь вид kπ. В ответе укажите числовой множитель k.

В квадрате ABCD расположена окружность. Из вершин квадрата к окружности проведены отрезки касательных, на которых построены четыре равносторонних треугольника (см. рис.).

Три из них имеют площади 15, 20, 42. Найдите площадь четвертого треугольника.

На рисунке изображена фигура тетрамино, состоящая из четырех одинаковых кубиков.

Из какого наименьшего количества таких тетрамино можно сложить прямоугольный параллелепипед?

Вершины квадрата отрезками соединены с серединами его сторон.

При этом квадрат разбивается на несколько частей, из которых некоторые закрашены. Какая часть квадрата закрашена?

На рисунке изображен октаэдр, вписанный в куб. Две его вершины О₁ и О₂ лежат в центрах противоположных граней куба, а вершины A, B, C и D – середины ребер куба, перпендикулярных этим граням.

У куба три пары противоположных граней, поэтому в него можно вписать таким образом три октаэдра. Какую часть куба составляет объем общей части этих трех октаэдров.

В куб вписаны три равных октаэдра. Две вершины каждого октаэдра лежат в центрах противоположных граней куба, а другие четыре вершины – середины ребер куба, перпендикулярных этим граням. Многогранник, являющийся объединением этих трех октаэдров, изображен на рисунке.

Какую часть куба составляет объем этого многогранника?

На рисунке приведен фрагмент школьного трафарета с четырьмя правильными многоугольниками.

Начертите их на бумаге и выясните, какие из этих многоугольников можно разрезать на четыре равнобедренных треугольника, среди которых нет равных? (Треугольники нельзя складывать из более мелких частей.)

Если можно разрезать, то ставим 1, если нельзя, то ставим 0, и, таким образом, ответ записывается четырехзначным числом, состоящем из нулей и единиц, порядок которых определяет расположение многоугольников на трафарете слева на право.