Числа натурального ряда записаны на клетчатой бумаге в форме спирали: в одной из клеток записано число 1, справа от неё в соседней клетке записано число 2, вниз от неё в соседней клетке записано число 3, и так далее, двигаясь по часовой стрелке образуется спираль из натурального ряда.

В ней можно выделить концентрические квадратные рамки, центром которых является клетка с числом 1. Найдите сумму чисел в рамке размером 101х101.

На рисунке представлены графики шести функций, содержащие операцию «целая часть числа» (антье).

Графики обозначены латинскими буквами. Ниже приведены формулы этих функций, которые обозначены цифрами. Установите соответствие между графиками функций и их формулами.

В ответе запишите шестизначное число, которое получается после замены букв в слове ABCDEF соответствующими им цифрами. 

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ концы отрезка KF лежат на диагоналях AD₁ и B₁C и он параллелен плоскости основания ABCD. Точка М – точка пересечения отрезка KF с диагональной плоскостью A₁BCD₁. Геометрическое множество точек М образует линию, которая делит прямоугольник A₁BCD₁ на две части. Найдите отношение площади меньшей части к площади большей.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 проведен отрезок, соединяющий вершину A куба с центром грани A₁B₁C₁D₁. Этот отрезок начинает непрерывно «скользит» своими концами по двум скрещивающимся диагоналям AC и B₁D₁ противоположных граней куба, не меняя своей длины. Двигаясь таким образом, отрезок задает линейчатую поверхность, изображенную на рисунке.

Объём тела, ограниченного этой поверхностью, будет иметь вид kπ. В ответе укажите числовой множитель k.

Натуральный ряд записан построчно в виде числовой пирамиды: в первой строке записана 1, во второй строке – следующие два числа 2 и 3, в третьей строке – следующие три числа, и т.д., то есть в n-ой строке записаны n очередных чисел. Рассмотрим «многоэтажные ёлочки», каждый этаж которых занимает три строки. Например, на рисунке изображена четырехэтажная елочка.

Найдите сумму чисел, находящихся внутри контура 123-этажной ёлочки этой числовой пирамиды.

Решите уравнение 1²⋅n + 2²⋅(n−1) + … + (n−1)²⋅2 + n²⋅1= k². Это уравнение является математической моделью геометрической задачи на разбиение квадрата со стороной k на систему меньших квадратов. В ответе укажите наименьшее число k>1, допускающее геометрическую интерпретацию найденного решения.

На каждой ветви графика уравнения |xy|=k  взято по одной точке A, B, C и D так, что получился квадрат ABCD, со стороной k и имеющий с графиком общими точками только вершины. Найдите наибольшую площадь такого квадрата.

Элементами матрицы 3х3 являются натуральные числа от 1 до 9, взятые по одному разу. Найдите наибольшее значение определителя этой матрицы.

Четыре вершины правильного шестиугольника лежат на параболе у=х², сторона шестиугольника, соединяющая оставшиеся две его вершины, пересекает ось Оу в точке А (смотри рисунок).

Найдите ординату точки А.

Каждая фигурка тридомино состоит из трех домино. Домино – это прямоугольник 1х2. Соседние домино в каждой фигурке имеют общую границу длиной 1 или 2. Существует несколько фигурок тридомино, некоторые из них являются разверткой куба.

Выясните какие, и в ответе укажите количество таких тридомино.