Ёлочка, изображенная на рисунке, получается из квадрата в результате бесконечного процесса следующим образом: квадрат по диагонали разрезается на два треугольника, один из них ложится в основание ёлочки, второй разрезается на два равных треугольника, один из них идет на построение ёлочки, второй разрезается на два равных треугольника, и так строится постоянно растущая ёлочка. Найдите величину угла АЕС. Ответ выразите в градусах, округлив до ближайшего целого числа.

Последовательность задана рекуррентным способом: a₁=2, a₂=2, a_n+2=a_n+1/a_n. Найдите сумму 1730 первых членов этой последовательности.

Найдите наибольшее значение определителя матрицы четвертого порядка, у которой на главной диагонали записаны числа 1, 2, 3 и 4, а все остальные числа одинаковы. Определитель изображен на рисунке.

Гипотрохоида - плоская кривая, задаваемая фиксированной точкой круга, который катится без скольжения по внутренней стороне другой окружности. Гипротрохоиды можно рисовать с помощью спирографа. На рисунке слева изображено кольцо и диск спирографа.

Чтобы диск при движении не скользил, на нем и на внутренней окружности кольца сделаны зубья. Карандаш, вставленный в одно из отверстий диска, при вращении оставляет на бумаге след - гипотрохоиду, здесь незаконченная красная линия. 

На рисунке справа изображена одна из гипотрохоид. Она нарисована другой парой спирографа, на внутренней окружности кольца которого имеется 96 зубьев. Сколько зубьев на диске?

Дан треугольник A₁A₂A₃ со сторонами  A₁A₂=21, A₂A₃=17, A₁A₃=10. Воробей вначале сел в точку A₄ пересечения медиан треугольника A₁A₂A₃, затем прыгнул в точку A₅ пересечения медиан треугольника A₂A₃A₄, затем прыгнул в точку A₆ пересечения медиан треугольника A₃A₄A₅, и т.д. Прыгая так бесконечно долго, воробей стремится к некоторой точке A.

Найдите сумму квадратов расстояний от точки A до всех вершин треугольника A₁A₂A₃.

Имеются две модели октаэдров: каркасная и бумажная.

Число k – это отношение длины ребра каркасного октаэдра к длине ребра бумажного октаэдра. Ребра каркасного октаэдра считать бесконечно тонкими. При каком наименьшем значении k бумажный октаэдр можно вставить внутрь каркасного октаэдра? В ответе укажите квадрат этого отношения.

Одна из вершин куба симметрично отражена относительно центра каждой его грани. Полученные таким образом шесть точек являются вершинами выпуклого многогранника. Найдите его объём, если объём куба равен 36.

Вершину С правильного треугольника АВС соединили отрезком с точкой M, делящей сторону AB в отношении 3:5.

В образовавшиеся при этом два треугольника вписали круги, площадь меньшего из них равна 52. Найдите площадь большего круга.

Два благородных крокодильчика начинают поедать  с двух концов единичный отрезок  по следующей схеме: первый со своего конца откусывает 1/2 отрезка, второй со своего конца откусывает 1/3  оставшейся части отрезка, затем первый  откусывает 1/4 остатка, второй  откусывает 1/5 остатка, и т.д. 

Какую часть отрезка съест первый крокодильчик?

Ответе укажите в процентах, округлив его до целого.

Если бумажную полосу единичной ширины завязать простым узлом так, чтобы он стал плоским, то узел примет форму правильного пятиугольника (рис. слева).

Пятиугольник на рисунке справа получен из бумажной полосы завязыванием пяти таких узлов. Чему равна длина полосы, если в сложенном виде её противоположные концы совпадают с отрезком АВ. Ответ округлите до целого числа.