На доске рисуют звезду - замкнутую пятизвенную ломаную. Во внутренний пятиугольник этой звезды вписывают ешё одну звезду и так далее, как показано на рисунке.

Сколько треугольников будет нарисовано, когда число звёзд, построенных таким образом, достигнет 100?

Обратите внимание, что здесь кроме красных и белых треугольников имеются красно-белые треугольники.

Бумажную полосу 1х50 расчертили на единичные квадраты, пронумеровали их по порядку числами от 1 до 50, после чего полосу разрезали на десять малых полос 1х5. Пять вертикальных и пять горизонтальных полос переплели друг с другом так, что единичные квадраты каждой полосы чередуются положением верх-низ. Получился числовой квадрат или матрица 5х5. Одна из возможных плетенок и соответствующая ей матрица показана на рисунке.

Сколько различных матриц 5х5 может получиться? Поворот на угол кратный 90 градусам новой матрицы не дает, ориентация чисел значения не имеет.

В квадратную рамку из дерева вбито по три гвоздя параллельно друг другу с каждой стороны. Меняя глубину погружения гвоздей, добейтесь такого расположения, чтобы каждый гвоздь пересекал ровно n гвоздей (разумеется в проекции). Выясните, при каких значениях n выполняется условие задачи. В ответе укажите  сумму всех таких значений n.

На приведенном рисунке показано решение при n=1.

Первые десять натуральных чисел разбейте на пары так, чтобы из пяти прямоугольников с длинами сторон, соответствующих парам, можно было сложить квадрат. В ответе укажите площадь наибольшего такого квадрата.

Клетки таблицы 7x13 раскрашены в чёрный и белый цвета. Пар соседних клеток разного цвета всего 60, пар соседних клеток белого цвета всего 78. Сколько пар соседних клеток черного цвета?

Каждая фигурка тридомино состоит из трех домино. Домино – это прямоугольник 1х2. Соседние домино в каждой фигурке имеют общую границу длиной 1 или 2. Найдите полный набор фигурок «тридомино». Из k фигурок этого набора можно сложить прямоугольник 6хk, например, на рисунке показан прямоугольник 6х10, сложенный из десяти фигурок.

Сложите прямоугольник, употребив большее число фигурок найденного набора, причем, каждую фигурку можно использовать один раз. В ответе укажите наибольшее значение k.

Уточним: 1) две фигурки различны, если их контуры нельзя совместить;

2) при построении прямоугольника фигурки можно как угодно поворачивать и переворачивать.

Имеются две модели октаэдров: каркасная и бумажная.

Число k – это отношение длины ребра каркасного октаэдра к длине ребра бумажного октаэдра. Ребра каркасного октаэдра считать бесконечно тонкими. При каком наименьшем значении k бумажный октаэдр можно вставить внутрь каркасного октаэдра? В ответе укажите квадрат этого отношения.

Имеется 14 кубиков: два кубика с числом 1, два кубика с числом 2, два кубика с числом 3 и так далее, два кубика с числом 7. Расположите эти кубики в ряд так, чтобы между кубиками с числом 1 был ровно 1 кубик, между кубиками с числом 2 было ровно 2 кубика, и так далее, между кубиками с числом 7 было ровно 7 кубиков. Построенное решение определяет 14-значное число, записанное цифрами от 1 до 7. Поскольку кубики можно расставить несколькими способами, то в ответе укажите наименьшее 14-значное число, соответствующее полученному решению.

Для примера, на рисунке показано решение для 8 кубиков с числами от 1 до 4 и число 23421314, соответствующее этому решению.

Одна из вершин куба симметрично отражена относительно центра каждой его грани. Полученные таким образом шесть точек являются вершинами выпуклого многогранника. Найдите его объём, если объём куба равен 36.

Два благородных крокодильчика начинают поедать  с двух концов единичный отрезок  по следующей схеме: первый со своего конца откусывает 1/2 отрезка, второй со своего конца откусывает 1/3  оставшейся части отрезка, затем первый  откусывает 1/4 остатка, второй  откусывает 1/5 остатка, и т.д. 

Какую часть отрезка съест первый крокодильчик?

Ответе укажите в процентах, округлив его до целого.