Любитель кубика Рубика снял все 54 наклейки с кубика 3х3х3 и переклеил их вновь в случайном порядке. Какова вероятность собрать такой кубик Рубика? Собранным считается кубик, у которого все грани одного цвета. В качестве ответа введите число из первых трёх цифр вероятности, опуская начальные нули. Например, если вероятность равна 0,00040756…, то в ответ вносится число 407.

На рисунке изображен октаэдр, вписанный в куб. Две его вершины О₁ и О₂ лежат в центрах противоположных граней куба, а вершины A, B, C и D – середины ребер куба, перпендикулярных этим граням.

У куба три пары противоположных граней, поэтому в него можно вписать таким образом три октаэдра. Какую часть куба составляет объем общей части этих трех октаэдров.

В куб вписаны три равных октаэдра. Две вершины каждого октаэдра лежат в центрах противоположных граней куба, а другие четыре вершины – середины ребер куба, перпендикулярных этим граням. Многогранник, являющийся объединением этих трех октаэдров, изображен на рисунке.

Какую часть куба составляет объем этого многогранника?

В кружки фигуры, изображенной на рисунке, расставлены натуральные числа от 1 до 49, и в каждом квадрате найдена сумма четырех чисел, расположенных в его вершинах, после чего квадраты с одинаковыми суммами закрашены одним цветом. 

В этой расстановке максимум одинаковых сумм равен числу зеленых клеток, то есть 7. Расставьте эти числа в другом порядке, просуммируйте четверки чисел и раскрасьте квадраты указанным образом. В ответе укажите наибольшее возможное число одноцветных квадратов.

Уточним, рассматриваются только квадраты равные закрашенным.

В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ вписан правильный тетраэдр D₁AB₁C.

Куб, вместе c тетраэдром, вращается вокруг диагонали BD₁ куба. При этом образуются два тела вращения: одно задается вращением куба, другое – вращением тетраэдра. Найдите объёмы этих двух тел вращения, и в ответе укажите отношение меньшего объёма к большему.

В параллелограмм вписана елочка так, как показано на рисунке.

Площади трех частей параллелограмма равны 24, 25 и 26. Найдите площадь елочки.  

В куб вписан правильный октаэдр наибольшего объёма. В каком отношении вершины октаэдра делят ребра этого куба? В ответе укажите отношение меньшей части к большей.

Гипотрохоида — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой, находящейся на фиксированной радиальной прямой окружности, катящейся по внутренней стороне неподвижной окружности. Гипотрохоида задается тремя параметрами: R — радиус неподвижной окружности, r — радиус вращающейся окружности, d — расстояние от фиксированной точки до центра вращающейся окружности. На рисунке приведена гипотрохоида с параметрами R=11, r=7, d=11, которая делит плоскость на 35 частей.

На сколько частей разделит плоскость гипотрохоида с параметрами R = p₁₀₁, r = p₁₀₀, d = p₁₀₁, где p₁₀₀ и p₁₀₁ — простые числа с номерами 100 и 101?

Сколько существует прямоугольных параллелепипедов с целочисленными измерениями, у которых числовые значения площади поверхности и объема равны?

В правильной шестиугольной призме все ребра равны.

Найдите угол между прямыми A₁B и B₁E в градусах.