В треугольнике три стороны составляют арифметическую прогрессию, а центр описанной окружности лежит на вписанной окружности. Найдите шаг прогрессии, если средняя по длине сторона равна 430. Ответ округлите до целого числа.

Дана функциональная последовательность fn(x):
f0(x) = 0;
fn+1(x) = (x+fn(x)) / (x*(x+ fn(x))+1).

Найти предельную функцию g(x) при n стремящемся к бесконечности.
В ответе введите значение: 29*g(2) - g(82)

Дана бесконечная последовательность натуральных чисел a₀, a₁, a₂ … a_n
a_n+1 = √a_n, если a_n является квадратом натурального числа, 
a_n+1 = a_n + 3 в остальных случаях
Найти все возможные значения a₀, которые встречаются в последовательности более одного раза. В ответе введите сумму всех таких a₀.

В выпуклом четырехугольнике с целочисленными сторонами два противоположных угла прямые. Смежные стороны, образующие один из этих углов, равны между собой. Смежные стороны, образующие другой из этих углов, не равны между собой. При этом НОД любых трех неравных между собой сторон равен 1. Найдите минимальное значение площади, которым обладают как минимум два таких неконгруэнтных четырехугольника.

Все стороны и медианы треугольника являются различными натуральными числами. Найдите минимально возможный периметр такого треугольника.

На экзамене два преподавателя принимают экзамен у студентов. Один принимает только теорию, а второй только практику. Время затрачиваемое каждым преподавателем на прием теории, либо практики одинаковое. Через равные промежутки в аудиторию заходят по два студента, сдают экзамен (один из них теорию, второй практику), потом уходят, заходят следующие так далее. Т.е. каждый студент должен зайти в аудиторию два раза. Перед экзаменом студенты случайным образом разыгрывают между собой номера в очереди к каждому преподавателям. Найдите вероятность того, что полученное таким образом расписание для 8 студентов не сможет быть выполнено.

При последовательном подбрасывании монеты, после каждого броска сравнивают количество ранее выпавших орлов и решек и подсчитывают сколько раз эти количества совпадали. Например, если монета выпадала так: ОРОРРРР (О - орел, Р - решка), то количество таких совпадений равно 2, а если РРРРОРОР, то количество совпадений равно 0. Пусть n - это количество бросков монеты, а F(n) это среднее количество совпадений (или математическое ожидание количества совпадений).

Тогда:

F(1) = 0/2 = 0,
F(2) = 2/4 = 0.5
F(3) = 4/8= 0.5
F(4) = 14/16= 0.875

Найдите минимальное n при котором F(n) будет больше или равно 3

Касательно по внешнему контуру синей окружности располагаются одинаковые красные окружности. Которые в свою очередь касаются по внутреннему контуру зеленой окружности. Каждая красная окружность также касается двух соседних красных окружностей. На рисунке изображен пример для 4 красных окружностей.

Пусть N - это минимальное количество красных окружностей, при котором их суммарная площадь будет меньше площади синей окружности.

Пусть M - это минимальное количество красных окружностей при котором их удвоенная суммарная площадь будет меньше площади зеленой окружности.

Найдите N+M.

Внутри эллипса находятся три окружности. Центр первой окружности совпадает с центром эллипса и эта окружность имеет с эллипсом две точки касания. Центры двух других окружностей совпадают с фокусами эллипса и каждая из них имеет одну точку касания с эллипсом и одну точку касания с первой окружностью. Найдите отношение полуосей эллипса (меньшей к большей).

У Васи есть три предмета:

1. Монета

2. Игральная кость на каждой стороне которой написаны различные гласные буквы английского алфавита: 'AEIOUY'

3. Икосаэдр, на каждой грани которого написаны различные согласные буквы английского алфавита: 'BCDFGHJKLMNPQRSTVWXZ'

Вася кидает монету и:

- если выпадает орел, то он бросает игральную кость и выписывает выпавшую  букву на доску;

- если выпадает решка, то он бросает икосаэдр и выписывает выпавшую букву на доску.

Так он продолжает делать, пока полученная последовательность букв не будет заканчиваться словом 'ABBA'. Сколько раз (в среднем) Василию придется бросить монетку?