Дана функциональная последовательность fn(x):
f0(x) = 0;
fn+1(x) = (x+fn(x)) / (x*(x+ fn(x))+1).

Найти предельную функцию g(x) при n стремящемся к бесконечности.
В ответе введите значение: 29*g(2) - g(82)

Дана бесконечная последовательность натуральных чисел a₀, a₁, a₂ … a_n
a_n+1 = √a_n, если a_n является квадратом натурального числа, 
a_n+1 = a_n + 3 в остальных случаях
Найти все возможные значения a₀, которые встречаются в последовательности более одного раза. В ответе введите сумму всех таких a₀.

Касательно по внешнему контуру синей окружности располагаются одинаковые красные окружности. Которые в свою очередь касаются по внутреннему контуру зеленой окружности. Каждая красная окружность также касается двух соседних красных окружностей. На рисунке изображен пример для 4 красных окружностей.

Пусть N - это минимальное количество красных окружностей, при котором их суммарная площадь будет меньше площади синей окружности.

Пусть M - это минимальное количество красных окружностей при котором их удвоенная суммарная площадь будет меньше площади зеленой окружности.

Найдите N+M.

В прямоугольник с целочисленными взаимно простыми длинами сторон вписан прямоугольник с различными целочисленными сторонами так, что все его углы лежат на различных сторонах исходного четырехугольника. Одна из сторон вписанного четырехугольника в 2 раза меньше одной из сторон исходного. Минимально возможный (по площади) такой четырехугольник имеет размеры 10x11 со вписанным четырехугольником 5х10. Найдите вторую минимально возможную площадь исходного четырехугольника.

Одни и те же четыре фигуры – два треуольника и два полиомино – складываются двумя способами в виде "большого треугольника", по такому принципу:

1. Все вершины фигур лежат в узлах квадратной сетки.
2. Исходные треугольники касаются острыми углами.
3. В одном случае два полиомино заполняют некоторый прямоугольник, а во втором случае – другой прямоугольник, в котором – о чудо! – оказывается ещё одна лишняя клетка.