img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
отражение
Лента событий: fortpost решил задачу "Плохое место" (Математика):
Рисунок
Rss

Задачи: Математика   
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Показывать на странице:
+ 11
  
Задачу решили: 65
всего попыток: 121
Задача опубликована: 27.02.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Японская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Vkorsukov

Пусть n > 2 целое число. Найдите наибольшее K и наименьшее G, при которых для любых положительных чисел a1, a2, ..., an справедливо следующее неравенство:

K < \frac{a_1}{a_1 + a_2} + \frac{a_2}{a_2 + a_3} + \cdots \frac{a_n}{a_n + a_1} < G

Чему равно K+G для n = 100.

 

+ 7
  
Задачу решили: 43
всего попыток: 281
Задача опубликована: 03.10.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Angelina

Пусть f(x) = x^2 -10x + \frac{p}{2}. Найдите такое натуральное p, что уравнение f \circ f \circ f (x) = f(x) имеет ровно 4 различных действительных решения.

+ 11
  
Задачу решили: 65
всего попыток: 105
Задача опубликована: 19.10.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: zmerch

Для натуральных чисел a, b, c справедливо равенство

\cfrac{a^3}{(b + 3)(c + 3)} + \cfrac{b^3}{(c + 3)(a + 3)} + \cfrac{c^3}{(a + 3)(b + 3)} = 7.

 

Найдите значение a + b + c.

+ 10
  
Задачу решили: 46
всего попыток: 61
Задача опубликована: 29.10.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: levvol

Последовательность целых чисел \{a_n\} такова, что a_1 = 1, a_2 = 2, и для некоторого натурального k выполняется


a_{n+k} = a_n, \quad n = 1, 2, \ldots

Также известно, что последовательность b_n = a_{n+2} - a_{n+1} + a_n обладает следующим свойством

b_{n+1} = \cfrac{1 + b_n^2}{2},\quad n = 1, 2, \ldots

Найдите значение \sum \limits_{n = 1} ^{60} a_n.

+ 12
  
Задачу решили: 62
всего попыток: 108
Задача опубликована: 07.02.14 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg

Для действительных чисел x, y выполнено условие

|x + y + 1| + |x + 1| + |y + 3| = 3.

Обозначим за M наибольшее, а за m наименьшее значение, которое может принимать выражение x2 + y2.

Найдите M + 2m.

+ 14
  
Задачу решили: 54
всего попыток: 74
Задача опубликована: 19.02.14 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Sam777e

Известно, что действительные числа a и b удовлетворяют уравнению
a2 + 200ab + 10000 = 0.
Найдите наибольшее значение (a + 100) / (b + 1).

+ 17
  
Задачу решили: 57
всего попыток: 139
Задача опубликована: 21.03.14 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: snape

Действительные числа a, b, c удовлетворяют условию ab + bc + ac = 7(a + b + c) - 30. Найдите минимум выражения a2 + b2 + c2.

+ 7
  
Задачу решили: 40
всего попыток: 93
Задача опубликована: 04.04.14 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg, математический анализimg
Лучшее решение: pete

Положительные действительные числа a и b удовлетворяют условию
a2 + b2 = (ab + 1) (a + b - 1).
Обозначим минимум и максимум выражения 2ab/(a + b - 1) за m и M. Найдите m2 + M2.

+ 4
  
Задачу решили: 39
всего попыток: 60
Задача опубликована: 05.05.14 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg, математический анализimg

Для положительных действительных чисел a и b выполняется условие
(a2 - a + 1)(b2 - b + 1) = a2b2.
Полагая максимум и минимум выражения 2ab/(a + b - 1) равными M и m, найдите M2 + m2.

+ 4
  
Задачу решили: 33
всего попыток: 99
Задача опубликована: 26.05.14 09:53
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg, планиметрияimg, геометрияimg, математический анализimg

Окружность S и лежащая на ней точка P(a,b) обладают следующими свойствами:

(i) Касательная в точке P проходит через начало координат.
(ii) Центр окружности S лежит в четвертой четверти.
(iii) S проходит через точки (1,0) и (9,0).
(iv) b ≥ 9/5.

Для точки P(a,b) обозначим за M и m максимум и минимум выражения

10_formula_Page_3.png

Найдите 36M + 27m2.

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.