В каждой из 18-и строк следующей таблицы задана длина стороны равностороннего треугольника - d, и расстояния от некоторой точки на этой же плоскости до трёх вершин треугольника: a, b и c.

По этим данным нужно определить для каждой строки, находится ли точка внутри треугольника.

Ответ должен состоять из 18-и нулей и единиц: Каждой строке соответствует "1", если точка находится внутри треугольника, и "0" в противном случае.

Сколько существует квадратов, вершины которых находятся на узлах точечной сетки 100x2021?

На рисунке изображён пример квадрата в точечной сетке 5x8.

Дана ломаная M₀M₁M₂M₃M₄M₅M₆M₇. Все углы M₀M₁M₂, M₁M₂M₃, ..., M₅M₆M₇ равны. Их величина такая, что, если бы все звенья были одинаковой длины, то ломаная была бы замкнута, образуя правильный семиугольник. Однако, длины звеньев другие:

|M₀M₁| = 5
|M₁M₂| = 8
|M₂M₃| = 11
|M₃M₄| = 14
|M₄M₅| = 17
|M₅M₆| = 20
|M₆M₇| = 23

Соединив отрезком крайние точки M₇ и M₀, получим восьмиугольник. Найдите размер его наименьшего угла в градусах.

Последовательно применяя формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, можно вывести формулы для синуса и косинуса суммы любого количества углов.

Формулы для синуса и косинуса суммы n углов имеют вид суммы всевозможных произведений k синусов и m косинусов (k+m=n) отдельных углов, с какими-то коэффициентами.

Т.к. формулы симметричны относительно углов, в каждой из них все слагаемые-призведения с одними и теми же k и m имеют один и тот же коэффициент. Обозначим его:
S_k,m – в формуле синуса суммы k+m углов;
C_k,m – в формуле косинуса суммы k+m углов.

Например:
С_0,2 = 1, C_1,1 = 0, C_2,0 = -1.

Найдите сумму квадратов S_579,420 и C_579,421. 

На плоскости в узлах правильной треугольной решетки расположены точки так, что их множество образует правильный шестиугольник. На стороне этого шестиугольника 10 точек (рис. для 4 точек).

Сколько попарно неконгруэнтных правильных шестиугольников определяют эти точки?

На рисунке изображена 11-конечная звезда с концами в 11-и точках, определяющих на параболе y=x² десять дуг одинаковой длины, от точки (-2, 4) до точки (2, 4).

Чему равна сумма углов концов звезды (в градусах)?

Если стороны треугольника равны a, b, c, и радиусы вписанной и описанной окружностей равны r и R, то выражение:
((a+b+c)/2)² - 3r² - 12Rr, можно представить как многочлен от трёх переменных a, b, c.

Обозначим:
B - произведение коэффициентов этого многочлена.
A - сумма абсолютных величин этих же коэффициентов.
Найдите A+B.

Сколько целых значений может иметь длина биссектрисы AD треугольника ABC, если |AB|=45 и |AC|=29 ?

В день своего 18-летия Таня нарисовала выпуклый 18-угольник, каждый угол которого кратен 18 градусам.
Какими могут быть углы Таниного многоугольника (порядок углов не важен)? Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет. В ответе укажите количество вариантов.