Известно, что для каких-то 4-х точек на плоскости существует конечное количество окружностей, от которых они равноудалены. Найдите максимальное возможное значение этого количества.

На рисунке указаны длины звеньев ломаной в правильном шестиугольнике.

Длина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC представима в виде x + y*√3, где x и y – рациональные числа.

Найдите сумму x+y.

На рисунке изображены правильный 6-угольник со стороной 6 и ломаная из 14-и звеньев, длины которых составляют арифметическую прогрессию: 1, 2, 3, ... Углы между соседными звеньями – 60° (см.рисунок).

Ломаная – несамопересекающаяся. Она соединяет середины двух противоположных сторон 6-угольника.

Однако, существуют и другие ломаные, обладающие всеми этими свойствами, кроме количество звеньев.

Найдите минимально возможное количество звеньев.

Рассмотрим следующие 6 свободных полиомино:

Свободное, или двустороннее полиомино – сколько бы его ни сдвигать, поворачивать и переворачивать, считается, что оно одно и тот же. В дальнейшем говорится только о таких.

Определение. Если полиомино B можно построить путём добавления какого-то количества квадратиков (0 или больше) к полиомино A, то будем говорить, что A является подполиомино B. Нужно построить таблицу из 6x6=36 символов – НУЛЕЙ и ЕДИНИЦ – таким образом:
В x-м символе y-й строки нужно записать ЕДИНИЦУ, если существует подполиомино y-го полиомино, которое также является подполиомино x-го полиомино, но не является подполиомино ни одного из остальных полиомино.
В противном случае нужно записать в этой позиции НОЛЬ.

Введите в ответ все эти символы подряд, строку за строкой. Нумерация строк идёт сверху вниз, а символов в строке – слева направо. Номера полиомино показаны на их изображениях.

Найдите наименьшее простое число p, представимое как:
p = x⁴ + y⁴, где x и y - целые числа, и сумма их квадратов x²+y² равна квадрату целого числа. Введите в ответ число 6p.

В слове levvol заменили одинаковые буквы на одинаковые цифры, а различные буквы – на различные цифры. Какое наименьшее 6-значное число levvol можно представить как произведение простого и составного числа ровно двумя способами?

Порядок множителей неважен: x*y и y*x это один и тот же способ.

Задача посвящена памяти нашего ушедшего коллеги, можно сказать неординарного, Льва Волкова.

Найдите сумму всех годов XXI вв., которые можно представить в виде Л*Я*ЛЯ*ЛЯ, где у каждого сомножителя не больше двух различных делителей.

На иллюстрации изображены три замкнутые непересекающиеся ломаные на квадратной сетке.

Каждая из них помещается в минимальном квадрате (на этой же квадратной сетке) размера 3 на 3.

Сколько всего таких ломаных?

На иллюстрации изображены три замкнутые непересекающиеся ломаные на квадратной сетке.

Каждая из них помещается в минимальном квадрате (на этой же квадратной сетке) размера 3 на 3.

Сколько всего таких попарно неконгруэнтных ломаных?