Найдите количество примитивных пифагоровых троек с гипотенузой, равной 11508160625.

Одна прямая разрезает один n-угольник на 10 треугольников. Найдите максимально возможное значение n.

На иллюстрации изображенны точки с целочисленными координатами на эллипсе x²/45² + y²/30² = 1 и на гиперболе x²/45² - y²/30² = 1.

На эллипсе их всего 12 штук: (±45, 0), (0, ±30), (±36, ±18), (±27, ±24).
На гиперболе их 18 штук: (±45, 0), (±51, ±16), (±75, ±40), (±117, ±72), (±339, ±224).
(Поседние на рисунке не поместидись.)

Найдите:
а. Количество точек с целочисленными координатами на эллипсе x²/20000² + y²/6400² = 1.

б. Количество точек с целочисленными координатами на гиперболе x²/20000² – y²/6400² = 1.
Введите в ответе произведение двух найденных чисел.

Рассмотрим выпуклые многоугольники, вершины которых имеют целые координаты, а стороны наклонены к оси X под углами, кратными 45-и градусам.

Обозначим f(n) – количество таких различных (попарно не конгруэнтных) многоугольников, площадь которых равна n.

Найдите произведение f(1) × f(2) × f(3) × f(4) × f(5).

Рассмотрим треугольную сетку точек в виде равностороннего треугольника, на стороне которого находятся 8 точек:

На следующем рисунке изображён пример фигуры, границей которой

является замкнутая ломаная, обладающая следующими свойствами:

• Её стороны лежат на линиях сетки, а вершины – в её узлах.
• Она проходит ровно по одному разу через каждый узел сетки.
• Она имеет поворотную симметрию 3-го порядка.

Фигура в этом примере состоит из 34-х маленьких треугольников.

Найдите наибольшее количество маленьких треугольников, из которых может состоять фигура, граница которой является ломаная со всеми указанными свойствами, на треугольной сетке равностороннего треугольника с 15-ю точками на стороне.

Рассмотрим треугольную сетку из 1+2+3+...+n точек, покрашенных в три цвета, расположенных в виде равностороннего треугольника с n точками на стороне. На рисунке изображён пример такой сетки при n=4.

Сетка обладает таким свойством: ни одна тройка точек одного цвета не образует равносторонний треугольник. Найдите максимальный n, при котором это возможно.

Рассмотрим открытый шар x² + y² + z² < R² и пересекающие его плоскости x=a, y=b, z=c, где a, b, c – все целые числа в пределах: |a|, |b|, |c| < R.

На сколько частей эти плоскости делят шар, если R=6?

Рассмотрим сферу x² + y² + z² = R² и пересекающие её плоскости x=a, y=b, z=c, где a, b, c – все целые числа в пределах: -R < a, b, c < R.

На сколько частей эти плоскости делят сферу, если R=6 ? (Считаются только невырожденные части сферы).

Фигура «Ёлочка» сложена из полного набора пентамино, как показано на рисунке, и украшена замкнутой гирляндой из 12 лампочек. Гирлянда является маршрутом козлотура, который, перескакивая по лампочкам "ходами козлотура" (см. рисунок), побывав ровно по одному разу в одной из клеток каждого пентамино, возвращается к исходной лампочке.

Сколько всего существует таких замкнутых маршрутов козлотура?

Рассмотрим квадратную сетку из 20×20 точек. Найдите количество различных (неконгруэнтных) замкнутых ломаных на этой сетке, обладающих следующими свойствами:

• они проходят строго по линиям сетки;
• они проходят ровно один раз через каждый узел;
• они обладают поворотной симметрией 4-го порядка.

На рисунке изображён пример замкнутой ломаной, обладающей этими же свойствами, на квадратной сетке меньшего размера: