Рассмотрим треугольную сетку точек в виде равностороннего треугольника, на стороне которого находятся 8 точек:

На следующем рисунке изображён пример фигуры, границей которой

является замкнутая ломаная, обладающая следующими свойствами:

• Её стороны лежат на линиях сетки, а вершины – в её узлах.
• Она проходит ровно по одному разу через каждый узел сетки.
• Она имеет поворотную симметрию 3-го порядка.

Фигура в этом примере состоит из 34-х маленьких треугольников.

Найдите наибольшее количество маленьких треугольников, из которых может состоять фигура, граница которой является ломаная со всеми указанными свойствами, на треугольной сетке равностороннего треугольника с 15-ю точками на стороне.

Рассмотрим квадратную сетку из 20×20 точек. Найдите количество различных (неконгруэнтных) замкнутых ломаных на этой сетке, обладающих следующими свойствами:

• они проходят строго по линиям сетки;
• они проходят ровно один раз через каждый узел;
• они обладают поворотной симметрией 4-го порядка.

На рисунке изображён пример замкнутой ломаной, обладающей этими же свойствами, на квадратной сетке меньшего размера:

a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀ – действительные числа, хотя бы одно из которых не равно нулю.

Σ₂ = a₁² + a₂² + a₃² + ... + a₁₀²  (т.е. сумма их квадратов)

σ₂ = a₁a₂ + a₁a₃ + a₁a₄ + ... + a₉a₁₀  (т.е. сумма произведений каждого с каждым)

Найдите максимально возможное значение σ₂/Σ₂. 

a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀ – действительные числа, хотя бы одно из которых не равно нулю.

Σ₂ = a₁² + a₂² + a₃² + ... + a₁₀²  (т.е. сумма их квадратов)

σ₂ = a₁a₂ + a₁a₃ + a₁a₄ + ... + a₉a₁₀  (т.е. сумма произведений каждого с каждым)

Найдите минимально возможное значение σ₂/Σ₂.