Рассмотрим множество чисел M = {1, 2, 3, ..., 2¹⁴ - 1}. Определим на этом множестве операцию «циклического сложения»:
x⊕y = [(x+y) / 2¹⁴] + (x+y) mod 2¹⁴
(целая часть от деления x+y на 2¹⁴ + остаток от деления x+y на 2¹⁴).

Например:
123 ⊕ 456 = [(123+456) / 2¹⁴] + (123+456) mod 2¹⁴  = 0 + 579 = 579

16380 ⊕ 7 = [(16380+7) / 2¹⁴] + (16380+7) mod 2¹⁴  = 1 + 3 = 4

Докажите, что эта операция определяет группу на множестве M и найдите её нейтральный элемент? Введите его в двоичной системе счисления.

На плоскости в узлах правильной треугольной решетки расположены точки так, что их множество образует правильный шестиугольник. На стороне этого шестиугольника 10 точек (рис. для 4 точек).

Сколько попарно неконгруэнтных правильных шестиугольников определяют эти точки?

На рисунке изображена 11-конечная звезда с концами в 11-и точках, определяющих на параболе y=x² десять дуг одинаковой длины, от точки (-2, 4) до точки (2, 4).

Чему равна сумма углов концов звезды (в градусах)?

Найдите максимальную сумму a+b+c+d+e+f+g среди всех семёрок целых чисел {a, b, c, d, e, f, g}, для которых выполняется:

0 < a < b < c < d < e < f < g

и

1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e + 1/f + 1/g = 1/7.

Если стороны треугольника равны a, b, c, и радиусы вписанной и описанной окружностей равны r и R, то выражение:
((a+b+c)/2)² - 3r² - 12Rr, можно представить как многочлен от трёх переменных a, b, c.

Обозначим:
B - произведение коэффициентов этого многочлена.
A - сумма абсолютных величин этих же коэффициентов.
Найдите A+B.

На рисунке изображён пример полиомино - фигуры, состоящей из какого-то количества смежных клеток размером 1x1 на листе тетрадки в клеточку:

На том же рисунке также изображён квадрат размером 9x9, в котором данное полиомино помещается целиком.

В этом примере полиомино занимает на листе тетрадки 10 строк и 11 столбцов, а стороны большого квадрата наклонены к сторонам клеточек под углами с тангенсами 2 и -1/2. На рисунке также выделены вершины полиомино, лежащие на сторонах большого квадрата.

Нас интересует количество различных (не конгруэнтных) полиомино, обладающих следующими двумя свойствами:

1. Для полиомино существует квадрат 9x9, в котором оно помещается целиком.
2. Полиомино является «максимальным»: Если к нему добавить хотя бы одну клетку, то уже не существует квадрат 9x9, в котором оно будет помещаться целиком.

Разобъём все полиомино, обладающие двумя указанными свойствами, по количествам строк и столбцов, которые они занимают на листе тетрадки. Обозначим:
n1 – Количество полиомино, занимающих 9 строк и 9 столбцов;
n2 – Количество полиомино, занимающих 9 строк и 10 столбцов (или наоборот);
n3 – Количество полиомино, занимающих 10 строк и 10 столбцов;
n4 – Количество полиомино, занимающих 10 строк и 11 столбцов (или наоборот);
n5 - Количество полиомино, занимающих 11 строк и 11 столбцов.

В ответ введите эти 5 чисел подряд, без пробелов, слева направо: n1n2n3n4n5

Квадрат имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны квадрата разделены точками на единичные отрезки. В этот квадрат вписаны n-1 квадратов, все вершины которых находятся в точках деления. При этом исходный квадрат оказался разделен на части. Найдите соотношение плошади полученной в центре части к площади исходного квадрата, когда n стремится к бесконечности. В ответе укажите целую часть этого соотношения, умноженного на 10000.

На рисунке приведен квадрат со стороной 40, в который вписаны 39 меньших квадратов.

Правильный пятиугольник имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны пятиугольника разделены точками на единичные отрезки. В этот пятиугольник вписаны n-1 правильных пятиугольников, все вершины которых находятся в точках деления.
При этом исходный пятиугольник оказался разделен на части.

На рисунке приведен правильный пятиугольник со стороной 7, в который вписаны 6 меньших правильных пятиугольников.

Найдите количество таких n (1<n<200), для которых количество полученных частей НЕ равно 5*(n-1)²+1.

Определим f(n) для каждого натурального n как количество прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон, одна из которых равна n. Найдите f(2³×3³×5³×7³×11³×13³).

Определим f(n) для каждого натурального n как количество прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон, одна из которых равна n. Найдите шестнадцатое (в порядке возрастания) натуральное число n, для которого f(n)=18.