На листе бумаги в форме равностороннего треугольника со стороной 30 см разбрызганы капли чернил. Если на этом листе нарисовать (косоугольную) систему координат с произвольным началом, осями, параллельными любым двум сторонам листа, и масштабом 1 см вдоль обеих осей, то хотя бы одна точка с целыми координатами обязательно окажется окрашенной чернилами. Какое наименьшее целое число квадратных миллиметров может составлять общая площадь всех клякс? (Можно считать, что каждая клякса — многоугольник или круг, а всех клякс — конечное число.)

Через точку на окружности единичного радиуса (r=1) проведена прямая на расстоянии  от ее центра . На прямой  вне окружности и слева от точки отметим на расстоянии  от нее точку , а на расстоянии  слева от точки  - точку  и проведем через них окружности с центром в т.  так, что получим три различные концентричные окружности (см. рис.). Через каждую точку проведем касательную к окружности на которой она лежит так, что пересечение этих касательных образуют треугольник .

Из двух прямых, которые можно провести через точку на окружности на данном расстоянии от ее центра - рассматривается только одна из них. Из двух лучей, на которые окружность делит эту прямую, точки откладываются только на одном. Так, как это показано на рисунке. 

Если  и  натуральные числа, существует  точек  и соответствующих им точек  таких, что площади всех треугольников  равны, причем . Найдите все такие точки , в ответе укажите сумму соответствующих им .

Пусть AB - диаметр некоторой окружности. Из точек A и B, под углами  и  к AB, проведем хорды AE и BD, пересекающиеся в точке C.

Найдите площадь треугольника CDE, если длина касательных FE и FD равны.

В треугольник ABC со сторонами AB=62, BC=962, AC=960, будем вписывать n окружностей одинакового радиуса (n от 1 до бесконечности, натуральное) так, что все они касаются стороны AC, соседних окружностей, а крайние окружности касаются сторон AB и BC соответственно. (см.рис.). Существует конечная последовательность k натуральных чисел a_i {a₁,a₂,a₃,...,a_k} таких, что если вписывать a_i окружностей в данный треугольник, у полученных окружностей радиусы будут натуральными числами. Найдите эту последовательность. В ответе укажите сумму всех ее членов .

Продолжения сторон (AD и BC) и (AB и CD) выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках E и F соответственно. Для определенности будем считать, что E и F лежат по одну сторону от прямой AC. (см.рис.) Внутри диагонали AC произвольным образом выбрана точка G. Прямые BG || DH || EI || FJ параллельны друг другу, а точки H, I, J являются точками пересечения соответствующих прямых с прямой AC так, что |DH|=a,  |EI|=b, |FJ|=c. Найдите длину отрезка |BG|, если a=9, b=3, c=6.

Рассмотрим полуокружность с центром в точке O и радиусом |AO|=|OB|=17. Внутри отрезка OB произвольным образом выбираем точку C при этом |AO|<|AC|<|AB|. С центром в точке C и радиусом |CB|=|CD| построим еще одну полуокружность. Через точку D проведем прямую, перпендикулярную прямой AB и пересекающуюся с большой полуокружностью в точке D'. В фигурный сектор DD'B вписана окружность с центром в точке I и касающаяся прямой DD' и обеих полуокружностей в точках H, G и F соответственно. (см. рис.)

Проведем прямую через точки С и I, которая пересекается с прямой DD' в точке E. Найдите все возможные случаи, когда длина отрезка |CE| - целое число. В ответ введите сумму найденных вариантов.

На окружности с центром в т.O выбраны точки A и B так, что угол AOB=90°. На бОльшей дуге AB произвольным образом выбрана точка С (будем считать, что B и С лежат по одну сторону от прямой AO) через которую проведена касательная к нашей окружности. Из точек A и B проведены перпендикуляры к  этой касательной, пересекающие ее в точках D и E соответственно. Причем оказалось, что |AD|=686, а |BE|=252. Найдите радиус окружности |AO|.

D, E, F - это точки касания вписанной в треугольник ΔABC окружности с центром в т .O (см.рис.). Найдите площадь треугольника ΔDEF, если известно, что площадь треугольника ΔABC=264, r=6 - радиус вписанной окружности ΔABC, R=65/3 - радиус описанной около ΔABC окружности.