Дан выпуклый четырехугольник АВСD. Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и AC пересекают AD в точках  X и Y соответственно, причем X лежит между А и Y. Оказалось что прямые BX и CY параллельны. Найти угол (в градусах) между BD и АС.

Серединные перпендикуляры к диагоналям BD и АС вписанного четырехугольника АВСD пересекают сторону AD  в точках X и Y соответственно. Пусть М середина ВС и расстояние от М до прямой ВХ = k, а расстояние до прямой СY равно u. Найти отношение k/u. 

Даны две арифметические прогрессии a₁, a₂… и b₁, b₂, …. (арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой a_n = a_n–1+d, где d — некоторое число, единое для всей последовательности). Известно, что a₁ = b₁, и для каждого номера i остатки от деления a_i и b_i на i совпадают. Найдите значение выражения a₂₀₁₂- b₂₀₁₂.

Продолжения сторон (AD и BC) и (AB и CD) выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках E и F соответственно. Для определенности будем считать, что E и F лежат по одну сторону от прямой AC. (см.рис.) Внутри диагонали AC произвольным образом выбрана точка G. Прямые BG || DH || EI || FJ параллельны друг другу, а точки H, I, J являются точками пересечения соответствующих прямых с прямой AC так, что |DH|=a,  |EI|=b, |FJ|=c. Найдите длину отрезка |BG|, если a=9, b=3, c=6.

Найдите максимально возможное значение выражения

x/(x²+3)+y/(y²+3), если x>0, y>0, x·y=1, x,y - действительные числа. 

Для двух натуральных x и k, рассмотрим два числа: x и (x+k). Определим функцию f(k)=i, где i - количество таких чисел x_i, что и x_i, и x_i+k являются точными квадратами некоторых натуральных чисел. Например f(1)=0; f(3)=1 {x=1}; f(21)=2 {x₁=4, x₂=100} и т.д. В интервале 1<k<2¹² найдите все такие k, что f(k)=15. В ответе необходимо указать сумму всех таких k.

Найдите минимальное натуральное число k такое, что при любых натуральных n, значение многочлена P(n)=7·n³⁷+37·n⁷+4·k·n - делится на 259 без остатка.

Рассмотрим полуокружность с центром в точке O и радиусом |AO|=|OB|=17. Внутри отрезка OB произвольным образом выбираем точку C при этом |AO|<|AC|<|AB|. С центром в точке C и радиусом |CB|=|CD| построим еще одну полуокружность. Через точку D проведем прямую, перпендикулярную прямой AB и пересекающуюся с большой полуокружностью в точке D'. В фигурный сектор DD'B вписана окружность с центром в точке I и касающаяся прямой DD' и обеих полуокружностей в точках H, G и F соответственно. (см. рис.)

Проведем прямую через точки С и I, которая пересекается с прямой DD' в точке E. Найдите все возможные случаи, когда длина отрезка |CE| - целое число. В ответ введите сумму найденных вариантов.

Все нечётные числа кратные 99 и в записи которых могут присутствовать только цифры 0, 1 и 2, выписаны в порядке возрастания. Найдите шестое число полученного ряда.