Ёлочка украшена тремя горизонтальными гирляндами и четырьмя гирляндами, спускающимися с вершины вниз.

Во всех гирляндах по четыре шарика. Впишите в шарики все целые числа от 1 до 13 (в каждый шарик по одному числу) так, чтобы сумма четырёх чисел в каждой из семи гирлянд была одной и той же. В ответе укажите сумму чисел в одной из гирлянд.

Найдите сумму всех годов XXI вв., которые можно представить в виде Л*Я*ЛЯ*ЛЯ, где у каждого сомножителя не больше двух различных делителей.

Найдите наименьшее натуральное число имеющее ровно 5 различных собственных трёхзначных делителей.

Найдите наибольшее натуральное число, имеющее ровно 5 различных трёхзначных делителей и не имеющее собственных делителей большей значности.

Ох, уж эти мыши: белый и серый. Какие только пакости ни делали коту Леопольду. Однажды на заборе написали:

КОШКА + МЫШКА  = ДРУЖБА, МЫШКА > КОШКА

Чему равно число ДРУЖБА, если разным буквам соответствуют разные цифры, кроме Ш = Ж.

Памяти Вячеслава Михайловича Назарука посвящается.

СП*РАВ=ОЧНИК, РАВ/СП=целое число. СПРАВОЧНИК=? Различным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым буквам - одинаковые цифры.

Рассмотрим бесконечную клетчатую плоскость, по линиям сетки которой нарисована спираль шириной в одну клетку, закручивающаяся по часовой стрелке (см рис.).

Имеется игральный кубик с числами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (обозначены точками), в котором сумма очков на противоположных гранях равна 7. Размер грани кубика совпадает с размером клетки плоскости. В начальную клетку спирали поставлен игральный кубик так, что на его верхней грани расположена 1, на передней — 4, на правой — 5. Кубик, перекатываясь через ребро, попадает в следующую клетку по спирали, и так далее, двигаясь по клеткам нарисованной спирали. В каждую клетку спирали вписывается число, расположенное на верхней грани игрального кубика, прокатившегося по ней, и таким образом, задается последовательность: 1, 2, 3, 1, 4, 2, …, в которой a₉=4. Найдите пятизначное число, у которого число единиц равно a₁, число десятков - a₁₀, число сотен – a₁₀₀, число тысяч - a₁₀₀₀, число десятков тысяч - a₁₀₀₀₀.

Чтобы гарантированно извлечь квадратный корень из произведения 1!*2!*3!*...*100! нужно вычеркнуть один из факториалов. Укажите какое число стоит перед знаком этого факториала.

На плоскости Вася провел 100 параллельных прямых, Петя провел еще 100 прямых. Все эти 200 прямых разделили плоскость на несколько частей. Какое наибольшее число частей могло получиться у них при делении плоскости этими прямыми?

Например, если мальчики провели по две прямые, то плоскость может быть разделена максимум на 10 частей (см. рис.).

В выпуклом четырёхугольнике Q два противоположных угла прямые. Смежные стороны, образующие один из этих углов, равны между собой. Смежные стороны, образующие другой из этих углов, не равны между собой.

Обозначим: m – длина стороны квадрата, равновеликого четырёхугольнику Q.

Для каждой точки M на периметре Q определим: f(M) – количество таких точек P на периметре Q, что |MP|=m. Например, для точки M, изображённой на рисунке:

 есть ровно две точки P₁ и P₂, расстояние которых до M равно m. Следовательно, для этой точки M имеет место f(M)=2.

Для каждого целого числа k определим функцию g(k) таким образом:
– Если есть конечное число точек M на периметре Q, для которых f(M)=k, то g(k) равно этому конечному числу.
– Если есть бесконечно много точек M на периметре Q, для которых f(M)=k, то определяем g(k)=100.

 Найдите сумму k*g(k) по всем k.