На рисунке изображена фигура тетрамино, состоящая из четырех одинаковых кубиков.

Из какого наименьшего количества таких тетрамино можно сложить прямоугольный параллелепипед?

"Докажем", что все лошади одного цвета. Укажите номер первого ошибочного пункта в следующем изложении:

Докажем по индукции, что для любого натурального числа n выполняется следующее утверждение:

Любая группа из n лошадей состоит из лошадей одного цвета.

1. Для n=1 утверждение верно. Действительно, любая группа из ОДНОЙ лошади состоит из лошадей одного цвета.

Покажем, что из выполнимости утверждения для какого-то n следует его выполнимость для n+1.

2. Пусть утверждение верно для какого-то n. Рассмотрим любую группу из n+1 лошадей.

3. Удалим из этой группы одну лошадь. Согласно предположению индукции, все оставшиеся n лошадей одного цвета.

4. Вернём удалённую лошадь, а вместо неё удалим другую лошадь.

5. Опять все оставшиеся n лошадей одного цвета.

6. Следовательно, все n+1 лошадь одного цвета.

7. Теорема доказана! 

Числовому равенству 3³+4³+5³=6³ соответствует геометрическое равенство.

Это геометрическое равенство можно доказать разрезанием меньших кубов на части, из которых затем складывается большой куб 6х6х6. Из какого наименьшего числа частей может при этом состоять куб 6х6х6?

На ступенчатом квадрате построен замкнутый маршрут шахматного коня, состоящий из 14 прыжков.

Постройте здесь замкнутый маршрут, содержащий максимально возможное число прыжков коня. Дважды прыгать в одну клетку нельзя. Начинать можно с любой клетки. В ответе укажите число прыжков шахматного коня в этом маршруте.

На ступенчатой клеточной доске показан замкнутый маршрут козлотура, состоящий из 6-и прыжков:

Найдите замкнутый маршрут козлотура на этой же доске, содержащий максимально возможное число прыжков. Дважды прыгать в одну клетку нельзя. В ответе укажите число прыжков козлотура в этом маршруте.

В кружки фигуры, изображенной на рисунке, расставлены натуральные числа от 1 до 49, и в каждом квадрате найдена сумма четырех чисел, расположенных в его вершинах, после чего квадраты с одинаковыми суммами закрашены одним цветом. 

В этой расстановке максимум одинаковых сумм равен числу зеленых клеток, то есть 7. Расставьте эти числа в другом порядке, просуммируйте четверки чисел и раскрасьте квадраты указанным образом. В ответе укажите наибольшее возможное число одноцветных квадратов.

Уточним, рассматриваются только квадраты равные закрашенным.

Сколько вариантов решений имеет тождество: пять/шесть=5/6. Различным буквам соответствуют различные цифры, одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры.

Любитель комбинаторной геометрии каждый год рисует правильный треугольник, длина стороны которого равна номеру этого года, и прямыми параллельными сторонам треугольника делит его на правильные треугольники со стороной 1.  В полученной таким образом треугольной сетке он закрашивает несколько треугольных ячеек так, чтобы они не пересекались, и при этом старается закрасить все узлы треугольной сетки. В 2022 году любителю не удалось это сделать. В каком ближайшем году он сможет закрасить сетку нужным образом?

На рисунке приведен пример неудачной раскраски сетки, так как остались три незакрашенных узла.

На плоскости можно провести несколько прямых так, что они, пересекаясь друг с другом, образуют несколько не перекрывающихся пятиконечных звезд, употребив при этом наименьшее число прямых. Например, рисунке показано, как 1 звезду нарисовать 5 прямыми, 3 звезды нарисовать 8 прямыми, как 3 звезды нарисовать 9 прямыми.

Как нарисовать 7 звезд проведя наименьшее число прямых? В ответе укажите число прямых.

Важно учитывать, что в предложенной конструкции при продолжении прямых не должны появляться новые звезды.

Квадрат имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны квадрата разделены точками на единичные отрезки. В этот квадрат вписаны n-1 квадратов, все вершины которых находятся в точках деления. При этом исходный квадрат оказался разделен на части. Для каких простых чисел n, начиная с 2 и не превосходящих 100, число полученных частей в квадрате является простым? В ответе укажите сумму всех таких n.

На рисунке приведен квадрат со стороной 4, в который вписаны 3 меньших квадрата.