Рассмотрим множество чисел M = {1, 2, 3, ..., 2¹⁴ - 1}. Определим на этом множестве операцию «циклического сложения»:
x⊕y = [(x+y) / 2¹⁴] + (x+y) mod 2¹⁴
(целая часть от деления x+y на 2¹⁴ + остаток от деления x+y на 2¹⁴).

Например:
123 ⊕ 456 = [(123+456) / 2¹⁴] + (123+456) mod 2¹⁴  = 0 + 579 = 579

16380 ⊕ 7 = [(16380+7) / 2¹⁴] + (16380+7) mod 2¹⁴  = 1 + 3 = 4

Докажите, что эта операция определяет группу на множестве M и найдите её нейтральный элемент? Введите его в двоичной системе счисления.

На рисунке изображен октаэдр, вписанный в куб. Две его вершины О₁ и О₂ лежат в центрах противоположных граней куба, а вершины A, B, C и D – середины ребер куба, перпендикулярных этим граням.

У куба три пары противоположных граней, поэтому в него можно вписать таким образом три октаэдра. Какую часть куба составляет объем общей части этих трех октаэдров.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ на ребрах  AC и  A₁C₁ отмечены соответственно точки M и K так, что |AM|:|MC| = 11/5, |A₁K|: |KC₁|= 3/5, точка N – середина ребра BC. Найти AA₁, если AA₁ равно расстоянию от точки C₁ до плоскости MNK и |AB| = 16.

В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ вписан правильный тетраэдр D₁AB₁C.

Куб, вместе c тетраэдром, вращается вокруг диагонали BD₁ куба. При этом образуются два тела вращения: одно задается вращением куба, другое – вращением тетраэдра. Найдите объёмы этих двух тел вращения, и в ответе укажите отношение меньшего объёма к большему.

В квадратной таблице 360х360 строки и столбцы «пронумерованы» числами от 1° до 360°. В каждой ячейке этой таблицы записано число, равное произведению синуса «номера» строки на косинус «номера» столбца. Сколько рациональных чисел в этой таблице?

Квадрат имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны квадрата разделены точками на единичные отрезки. В этот квадрат вписаны n-1 квадратов, все вершины которых находятся в точках деления. При этом исходный квадрат оказался разделен на части. Найдите соотношение плошади полученной в центре части к площади исходного квадрата, когда n стремится к бесконечности. В ответе укажите целую часть этого соотношения, умноженного на 10000.

На рисунке приведен квадрат со стороной 40, в который вписаны 39 меньших квадратов.

Правильный пятиугольник имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны пятиугольника разделены точками на единичные отрезки. В этот пятиугольник вписаны n-1 правильных пятиугольников, все вершины которых находятся в точках деления.
При этом исходный пятиугольник оказался разделен на части.

На рисунке приведен правильный пятиугольник со стороной 7, в который вписаны 6 меньших правильных пятиугольников.

Найдите количество таких n (1<n<200), для которых количество полученных частей НЕ равно 5*(n-1)²+1.

Дана функциональная последовательность fn(x):
f0(x) = 0;
fn+1(x) = (x+fn(x)) / (x*(x+ fn(x))+1).

Найти предельную функцию g(x) при n стремящемся к бесконечности.
В ответе введите значение: 29*g(2) - g(82)

Множество A={a,b,c} содержит 3 элемента. Его запись занимает 7 символов.

Множество B это множество всех подмножеств множества A. Его запись: {{},{a},{b},{a,b},{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} занимает 42 символа.

Множество C это множество всех подмножеств множества B. Сколько символов занимает запись множества C?