Скорый поезд вышел из Москвы в Санкт-Петербург и шёл без остановок со скоростью 80 км/ч. Другой поезд вышел ему навстречу и тоже шёл без остановок, но со скоростью 75 км/ч. Сколько км будет составлять расстояние между этими поездами за час до их встречи?

В трёхзначном нечётном числе сумма цифр равна 3, и известно что все три цифры различные. Найдите это число.

Число делится на 2011. При его делении на 3 получается остаток 1, а при делении на 5 — остаток 3. Каков остаток от деления этого числа на 15?

Сомыч сделал шкаф в форме квадрата 3×3 с девятью отделениями. Внутреннее отделение он оставил свободным для пустых бутылок, а в остальных расположил 60 бутылок масла —по 9 в средних и по 6 в угловых. Таким образом, на каждой стороне квадрата получилось по 21 бутылке. Слуга Зая подметил, что хозяин проверяет число бутылок, считая бутылки только по сторонам квадрата и следя за тем, чтобы на каждой стороне квадрата было ровно по 21 бутылке. Тогда Зая унёс 4 бутылки, а остальные расставил так, что вновь получилось по 21 бутылке на каждой стороне. Сомыч пересчитал бутылки своим обычным способом и подумал, что бутылок по-прежнему 60, а слуга только переставил их. Зая воспользовался оплошностью Сомыча и снова унес 4 бутылки, расставив остальные так, что на каждой стороне квадрата выходило опять по 21 бутылке. Так он повторял, пока было возможно. Спрашивается, сколько всего бутылок унёс Зая? (Каждый раз он обворовывал Сомыча ровно на 4 бутылки.)

У одного человека было 35 тысяч рублей. Перед смертью он сказал своей беременной жене: "Если родится мальчик, то он должен получить денег в 2 раза больше тебя, а если девочка то в 2 раза меньше тебя". У неё родилась двойня мальчик и девочка. Сколько рублей получит мальчик?

Пусть запись a$b обозначает наименьшее из чисел a + b и 2b. Решите уравнение x$3=5$x.

Все 10 цифр десятичной системы счисления выписывают слева направо в таком порядке, что на каждом этапе (то есть после выписывания каждой из цифр) число, образованное уже выписанными цифрами оказывается составным. Какое максимальное число можно получить таким образом?

За круглым столом заседают N рыцарей. Каждое утро чародей Мерлин сажает их в другом порядке. Начиная со второго дня Мерлин разрешил рыцарям делать в течение дня сколько угодно пересадок такого вида: два сидящих рядом рыцаря меняются местами, если только они не были соседями в первый день. Рыцари стараются сесть в том же порядке, что и в какой-нибудь из предыдущих дней: тогда заседания прекратятся. Какое наибольшее число дней Мерлин гарантированно может проводить заседания? (Рассадки, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми. Мерлин за столом не сидит.)

Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 9 × 9. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 100 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?

Каждый день в течение ста дней подряд Марго записывала показания уличного термометра. Затем ей пришло в голову вычислить все попарные произведения ста полученных значений. Среди вычисленных Марго произведений ровно 2013 оказались ниже нуля.

Сколько дней была нулевая температура?