В четырехугольнике ABCD BC является диаметром описанной окружности. Известно, что |AB|² = 450, |CD|² = 25 и сумма углов B и C равна 135°. Найдите значение |AD|².

Дана окружность, радиус которой равен 36, и центр которой - точка O, и две точки на этой окружности: A и B. 

Дана точка P. Длины отрезков:

|PO| = 54

|PA| = 25

|PB| = 29

Прямая PA пересекает окружность в ещё одной точке A’. Прямая PB пересекает окружность в ещё одной точке B’.

Обозначим: C – точка пересечения прямых AB и A’B’, D – точка пересечения прямых AB’ и A’B, M – точка пересечения прямых CD и PO.

Чему равна длина отрезка OM?

Рассмотрим ряд Тейлора функции:

f(x) = 1/(1-x-x²)

в окрестности x=0. Чему равен коэффициент этого ряда при x¹⁰?

Найдите максимальное целочисленное значение длины диагонали многогранника, если сумма длин его рёбер равна 2012.

A - основание 4-угольной пирамиды.

B, C, D, E - её боковые грани.

B и D - две противоположные боковые грани (так же как и C и E). Их углы с основанием A:

α - угол между гранью B и основанием A.

β - угол между гранью D и основанием A.

x - сумма углов α и β, выраженных в градусах.

Какое максимальное целое значение может принимать x?

Пусть AB - диаметр некоторой окружности. Из точек A и B, под углами  и  к AB, проведем хорды AE и BD, пересекающиеся в точке C.

Найдите площадь треугольника CDE, если длина касательных FE и FD равны.

Через маленький населённый пункт Грюнхаузен проходит по прямой линии оживлённая трасса федерального значения. Жители городка добились наконец постройки объездной дороги. График показывает участок карты, на которой прямая через точки А и C — бывшая трасса, а линия, проходящая через красные точки — новая объездная дорога. Все расстояния даны в километрах.

Новая дорога проходит через точки A, B, C и в точке А плавно переходит в старую трассу. Эта дорога описывается полиномом третьего порядка с рациональными коэффициентами.

Закрашенная область – собственно городок. Его северная граница соответствует параболе c рациональными коэффициентами. Граница городка проходит через точки D,E и F.

Участок земли, находящийся между новой дорогой, северной границей городка и прямолинейными участками старой трассы (до пунктов А и C), будет использован под промзону. Сколько денег получит городская казна при продаже участка по цене 10.95 евро за квадратный метр? Ответ представьте в миллионах евро, округлив до ближайшего целого числа.

При разрезании одного прямоугольника на два сумма периметров полученных прямоугольников оказалась равной 40 см. А при разрезании второго, точно такого, на два прямоугольника сумма периметров полученных прямоугольников оказалась равной 50 см. Найдите периметр исходного прямоугольника?

Даны две концентрические окружности. Хорда большей из них является касательной к меньшей окружности и имеет длину 100. Чему равна площадь кольца между двумя окружностями. Ответ округлите до ближайшего целого.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине А, биссектриса прямого угла пересекает гипотенузу BC в точке D, так что DAB = 45°.  Если CD = 1 и BD = AD + 1,  найти длину AD.

Ответ представить в виде целого числа, умножив результат на 1000 и  округлив до ближайшего целого.