Треугольный планшет - это доска в форме правильного треугольника со штырями, которые вбиты в узлы треугольной решетки. Имеется неограниченное количество резиновых колец, каждое из которых можно натягивать на штыри так, что резинка принимает контур равностороннего треугольника. Требуется надеть на штыри несколько резинок так, чтобы они охватывали все шторы и контуры всех возможных равносторонних треугольников, у которых стороны параллельны сторонам треугольного планшета. Размер планшета определяется числом штырей на одной стороне его треугольного поля. Если размер планшета обозначить буквой n, количество надетых резинок N, то возможна такая последовательность: для n=2, 3, 4, 5, ..., для N=1, 5, 13, 27, ... соответственно. Найти n, для которого N/(n-1)=1000. 

Натуральное число назовем представимым, если его можно представить в виде такой суммы a+b+ab, где a и b натуральные числа. Например, число 101 представимое, потому что 101 = 5 + 16 + 5 · 16. Сколько представимых чисел среди трехзначных?

(1!*2!*3!*4!*5!*6!*7!*8!*9!*10!/n)^1/2=m. Найдите миниммальное целое число n, такое что m - целое. 

Вася нарезал фигурки из бумаги n квадратиков и m кружочков, написал на каждую из них по одной цифре, кроме цифры ноль. При этом цифры, что бфли на кружочках не встречались на квадратиках, и, соответственно, цифры, что были на квадратиках не встречались на кружочках. Далее он составил из них всевозможные равенства по схеме: "квадратик"*"кружочек"+"квадратик"+"кружочек"=сумма десяти "квадратиков"+"кружочек", при этом были использованы все квадратики и кружочки. Затем он сложил все цифры на всех квадратиках и кружочках и добавил к нему n и m. Какле число получил Вася?

В двух стаканах находится n и m мл воды, где 0<n<m и n+m≤200. Разрешена такая операция: количество воды в стакане можно удвоить, переливая из другого стакана, в котором для этого достаточно воды. Цель: посредством таких операций полностью опорожнить один стакан. Найдите число пар целых чисел n и m, для которых цель может быть достигнута.

Куб 9х9х9, изображенный на рисунке справа, составлен из единичных кубиков. Эти кубики раскрашены в два цвета так, что некоторые из них образуются трехмерные кресты с общим центром (см. рис.).

Торцы крестов – это квадраты 1х1, 3х3, 5х5, …, которые составлены из квадратных рамок, чередующихся по цвету. Сколько синих кубиков в кубе 29х29х29, раскрашенного по такому же принципу?

2 преподавателя принимают зачет, проверяя практические задания и знание теории у каждого из студентов. У 1-го на это уходит соответственно 5 и 7 минут, а у 2-го 3 и 4 минуты. За какое минимальное время в минутах они сумеют опросить 25 студентов?

В четыре стакана налито 2 мл, 5 мл, 15 мл, 11 мл воды.

Разрешена такая операция: удвоение количества воды в стакане путём переливания из другого стакана (содержащего достаточное для этого количество воды).

За какое минимальное количество операций можно опустошить два стакана?

[Решения проверяются в ручном режиме. Укажите в решении, какие конкретные переливания предлагаете. Доказательство минимальности не обязательно.]

По кругу записаны 268 целых чисел таким образом, что сумма любых 20 последовательных из них равна 75. Числа 3, 4 и 9 записаны на позициях с номерами 17, 83 и 144 соответственно. Какое число записано на позиции 210?

В таблице умножения от 1х1 до 7х7 выделен центральный ступенчатый квадрат максимального размера так, как показано на рисунке.

Сколькими нулями оканчивается произведение чисел во всех клетках такого же ступенчатого квадрата для таблицы умножения от 1х1 до 25х25?