Квадрат 8×8 без двух угловых клеток требуется разрезать на минимальное количество частей, из которых можно собирать квадраты с двумя отсутствующими клетками во всех возможных местах, при этом части разрешается поворачивать и переворачивать. В ответе укажите количество частей, а в решении - их расположение на приведённой фигуре.

Сложите из 100 экземпляров фигурок

в 10 раз большую фигуру

Фигурки можно поворачивать и переворачивать.

Бумажный лист в форме квадрата 8х8, содержит 64 квадратные клетки, которые раскрашены в три цвета так, как на рисунке. Обратная сторона листа – зеленая. Сделав несколько сгибов, сложите этот лист в форме квадрата 4х4 так, чтобы лицевая сторона его состояла из 16 белых клеток, а обратная – из 16 черных. В ответе укажите наименьшее число сгибов.

Уточнения: Сгиб – это поворот на 180° одной части фигуры вокруг некоторого отрезка прямой этой фигуры. Резать или рвать бумажный квадрат – нельзя. Промежутки между клетками не учитываются.

На листе бумаги нарисована одна из разверток куба, состоящая из шести равных квадратов. Сложите этот лист, сделав несколько сгибов, и сделайте только один прямолинейный разрез ножницами так, чтобы лист оказался разрезан на две части, одна из которых – развертка куба. В ответе укажите наименьшее число сгибов.

Уточнения: сгиб – это поворот на 180° одной части фигуры вокруг некоторого отрезка прямой этой фигуры.

Поверхность куба разрезать на минимальное число частей так, чтобы ими оклеить без наложений и просветов два равных куба. Чему равно это число?

На какое максимальное число непересекающихся областей могут рассечь круг отрезки, соединяющие n точек, лежащих на его окружности? Ответ укахите для n = 12.

Шахматную доску 8×8 разрезали на n прямоугольников так, что в каждом прямоугольнике одинаковое число белых и черных клеток, и при этом, если a_i - число клеток в i-м прямоугольнике, то a₁ < a₂ < ... < a_n. 

Найдите наибольшее число n, при котором возможно такое разбиение. В ответе укажите количество возможных различных разбиений a₁, a₂, ..., a_n при полученном n.

Рассмотрим следующие 6 свободных полиомино:

Свободное, или двустороннее полиомино – сколько бы его ни сдвигать, поворачивать и переворачивать, считается, что оно одно и тот же. В дальнейшем говорится только о таких.

Определение. Если полиомино B можно построить путём добавления какого-то количества квадратиков (0 или больше) к полиомино A, то будем говорить, что A является подполиомино B. Нужно построить таблицу из 6x6=36 символов – НУЛЕЙ и ЕДИНИЦ – таким образом:
В x-м символе y-й строки нужно записать ЕДИНИЦУ, если существует подполиомино y-го полиомино, которое также является подполиомино x-го полиомино, но не является подполиомино ни одного из остальных полиомино.
В противном случае нужно записать в этой позиции НОЛЬ.

Введите в ответ все эти символы подряд, строку за строкой. Нумерация строк идёт сверху вниз, а символов в строке – слева направо. Номера полиомино показаны на их изображениях.

На шахматной доске n на n расставлены n² ферзей n различных цветов, по n ферзей каждого цвета. Каждый ферзь стоит на отдельной клетке, и ни один ферзь не стоит ни на той же горизонтали, ни на той же вертикали, ни на той же диагонали (большой или маленькой) что другой ферзь того же цвета. На рисунке показан пример такой расстановки ферзей для n=5:

Найдите 4 наименьших натуральных числа n, для которых это возможно. Укажите в ответе их сумму.

Как разрезать правильный пятиугольник на 4 треугольника так, чтобы из них можно было составить равнобедренную трапецию?