В треугольнике ABC соотношения длин сторон:
|AB| : |BC| : |CA| = 13 : 17 : 19.

Пусть m - окружность, описанная около треугольника ABC, её длина равна 1440. n - окружность, вписанная в треугольнике ABC.

Определим множество W всех таких точек M на окружности m, которые обладают следующим свойством:
если провести из точки M обе касательные к окружности n, и эти касательные пересекут окружность m в новых точках M₁ и M₂, то отрезок M₁M₂ также будет касаться окружность n.

Очевидно, точки A, B и С принадлежат множеству W. Известно, что множество W можно разбивать на взаимно непересекающиеся сплошные дуги на окружности m. Чему равна их суммарная длина?

В прямоугольном треугольнике ABC, с гипотенузой |BC|=a и длиной высоты из вершины A равной a/5. Гипотенуза разделена на 9 равных отрезков. Найдите тангенс угла под которым виден отрезок, содержащий середину гипотенузы.

В прямой круговой конус объема V вписан шар. Около этого шара описан прямой круговой цилиндр, основание которого лежит в плокости основания конуса, а объем его равен U. Найдите минимально возможное k такое, что V=kU.

­Боковое ребро правильной шестиугольной призмы проходит через вершину правильного октаэдра, а противоположное ему ребро призмы совпадает с отрезком, соединяющим центры противоположных граней октаэдра. Найти отношение объёмов общей части тел и октаэдра.

Сколькими способами можно разбить число 64 на 10 натуральных слагаемых, наибольшее из которых равно 12. (Разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, не считаются различными.)