В тетраэдре ABCD: |AB|=a, |CD|=b, расстояние между прямыми AB и CD равно d, величина угла между этими прямыми равна a. Тетраэдр разделен на две части плоскостью P, параллельной противвоположным ребрам AB и CD. Вычислите отношение объёмов обеих частей (меньшего к большему), если известно, что отношение расстояния от AB до P к расстоянию от CD до P равно 3.

Разрежьте поверхность правильного октаэдра на две части с соотношением площадей 7:1 так, чтобы ими можно было оклеить без просветов и наложений простую (тригональную) бипирамиду.

Простая (тригональная) бипирамида - это многогранник, состоящий из двух равных правильных тетраэдров, имеющих общую грань.

Решите уравнение x² + y² = (x + 1)³ в целых числах.
В ответе введите сумму различных значений x.

Какое .максимальное число шаров радиуса 1/2 можно вложить в прямоугольный параллелепипед размером 10×10×1.

На рисунке изображён пример полиомино - фигуры, состоящей из какого-то количества смежных клеток размером 1x1 на листе тетрадки в клеточку:

На том же рисунке также изображён квадрат размером 8x8, в котором данное полиомино помещается целиком.

В этом примере полиомино занимает на листе тетрадки 9 строк и 9 столбцов, а стороны большого квадрата наклонены к сторонам клеточек под углами с тангенсами -3/5 и 5/3. На рисунке также выделены вершины полиомино, лежащие на сторонах большого квадрата.

Нас интересует количество различных (не конгруэнтных) полиомино, обладающих следующими двумя свойствами:
1. Для полиомино существует квадрат 8x8, в котором оно помещается целиком.
2. Полиомино является «максимальным»: Если к нему добавить хотя бы одну клетку, то уже не существует квадрат 8x8, в котором оно будет помещаться целиком.

Разобъём все полиомино, обладающие двумя указанными свойствами, по количествам строк и столбцов, которые они занимают на листе тетрадки. Обозначим:
n1 – Количество полиомино, занимающих 8 строк и 8 столбцов;
n2 – Количество полиомино, занимающих 8 строк и 9 столбцов (или наоборот);
n3 – Количество полиомино, занимающих 9 строк и 9 столбцов;
n4 – Количество полиомино, занимающих 9 строк и 10 столбцов (или наоборот);
n5 - Количество полиомино, занимающих 10 строк и 10 столбцов.

В ответ введите эти 5 чисел подряд, без пробелов, слева направо: n1n2n3n4n5

Найдите пропущенное число:

На стороне AC треугольника ABC выбрана точка D так, что |AB|=|BD|+|CD|. угол CDB равен 100°, угол DCB равен 65°. Найти угол BAC в градусах.

Точка D находится внутри треугольника ABC на биссектрисе угла BAC и такова, что угол ADB равен 150°, а угол DCB - 30°. Найдите разность углов CBD и ACD в градусах.

Найдите наибольшее натуральное число n<100 не представимое в виде a*b+b*c+c*a , где a, b, c - натуральные числа

На левом чертеже содержится большое количество различных n-угольников для различных n. На правом чертеже показан пример одного n-угольника для n=10.

Найдите максимально возможное n.

Ответ необходимо обосновать: показать, что многоугольник с найденным вами количеством сторон n существует, и доказать, что это n является максимальным.