Трехчлены x²+ax+b и x²+ax-b, где a и b - натуральные числа и НОД(a,b)=1, приводимы в целых числах (т. е. могут быть представлены в виде произведения двучленов с целыми коэффициентами). Найти минимальное значение b, для которого существуют два различных значения a. 

Имеются две модели октаэдров: каркасная и бумажная.

Число k – это отношение длины ребра каркасного октаэдра к длине ребра бумажного октаэдра. Ребра каркасного октаэдра считать бесконечно тонкими. При каком наименьшем значении k бумажный октаэдр можно вставить внутрь каркасного октаэдра? В ответе укажите квадрат этого отношения.

Внутри равностороннего треугольника ABC случайным образом выбрана точка D. Из отрезков AD, BD и CD составлен треугольник. Определите его углы, если известно, что угол ADB = α, угол CDA = β. 

Пусть x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ - натуральные числа, которые удовлетворяют соотношениям:
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 1000,
x₁ - x₂ + x₃ - x₄ + x₅ > 0,
x₁ + x₂ - x₃ + x₄ - x₅ > 0,
-x₁ + x₂ + x₃ - x₄ + x₅ > 0,
x₁ - x₂ + x₃ + x₄ - x₅ > 0,
-x₁ + x₂ - x₃ + x₄ + x₅ > 0,
и при этом значение (x₁ + x₃)^x₂+x₄ - наибольшее.

Скольким сушествует таких различных наборов (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅)?

Обезьянке, у которой не было ни одного кокоса, вечером подарили волшебное дерево. С дерева каждый день рано утром падает один кокос. На рынке в середине дня можно купить новое точно такое же дерево - оно стоит 12 кокосов. Уже на следующий день рано утром новое дерево даст первый кокос. Обезьянка хочет накопить 48 кокосов, и она придумала способ, как сделать это за наименьшее число дней. На какой по счёту день обезьянка накопит не меньше 48 кокосов?

Замечание: Первым считаем день, когда обезьянке подарили дерево (а первый кокос появился у обезьянки на второй день). Продавать деревья нельзя.

Для произвольного треугольника ABC есть внутренняя точка K, являющаяся общей вершиной трех равных квадратов, по две остальные вершины которых лежат на сторонах треугольника.

Если описать окружность с центром в этой точке и радиусом, равным стороне квадрата, - она пересечёт стороны треугольника как раз в этих шести вершинах. Найдите квадрат радиуса этой окружности для треугольника со сторонами (7,15,20).

Пусть p и q − положительные целые числа такие, что оба уравнения x²-px + q= 0 и x²-qx + p = 0 имеют различные целые корни. Найдите значение p+q.

Из всех 10 цифр (0, 1, 2, ..., 9) составили два пятизначных числа, при этом использовали все цифры и одно число оказалось меньше второго ровно в два раза. Найдите наименьшее число.