Ковер Серпинского представляет собой бесконечное разбиение квадрата на меньшие квадраты.

Построение выполняется поэтапно: на первом шаге исходный квадрат разбивается на девять равных квадратов и центральный квадрат закрашивается; на втором этапе каждый из оставшихся незакрашенных квадратов разбивается на девять меньших квадратов и центральный квадрат закрашивается, и так до бесконечности. На рисунке показаны разбиения квадрата, которые получаются после первых трех шагов. Сколько закрашенных и незакрашенных квадратов вместе получается на пятом шаге построения ковра Серпинского? 

Решите уравнение 1²⋅n + 2²⋅(n−1) + … + (n−1)²⋅2 + n²⋅1= k². Это уравнение является математической моделью геометрической задачи на разбиение квадрата со стороной k на систему меньших квадратов. В ответе укажите наименьшее число k>1, допускающее геометрическую интерпретацию найденного решения.

Три попарно неравных квадрата площади S₁, S₂ и S₃ имеют общую вершину (и только её), при этом вершины всех квадратов расположены в узлах квадратной решетки 1х1. Ближайшие вершины соседних квадратов соединены отрезками, на которых построены ещё три квадрата, площадь каждого из них равна 10 (смотрите рисунок).

Найдите наименьшее значение суммы S₁+S₂+S₃ и укажите его в ответе.

В квадратной таблице nxn проведена несамопересекающая ломаная, все звенья которой лежат на внутренних перегородках между клетками 1х1. Ломаная делит таблицу на две части, клетки одной части закращена черным. При этом оказалось, что в таблице число бело-белых соседних клеток равно числу бело-черных соседних клеток и равно числу черно-черных соседних клеток. Найдите длину ломаной, если известно, что её длина в 66 раз больше стороны n данной таблицы.

Например, в таблице 3х3 проведена ломаная АВС длиной 4. Здесь каждого типа соседних клеток по 4.

Две равные фигуры сложены из единичных кубиков, одна из белых кубиков, другая – из черных, причем, из этих двух фигур можно сложить куб n×n×n без пустот внутри. Оказалось, что в сложенном кубе число бело-белых соседних кубиков (т. е. имеющих общую грань) равно числу бело-черных соседних кубиков и равно числу черно-черных соседних кубиков. При каком n площадь поверхности одной из фигур в два раза больше площади поверхности куба.

Равносторонний треугольник имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны треугольника разделены точками на единичные отрезки. В этот треугольник вписаны n-1 равносторонних треугольников, все вершины которых находятся в точках деления. При этом исходный треугольник оказался разделен на части. Для каких простых чисел n начиная с 2 и не превосходящих 1000, число полученных частей в треугольнике является квадратным?

В ответе укажите сумму всех таких n.

На рисунке приведен равносторонний треугольник со стороной 6, в который вписаны 5 меньших равносторонних треугольников.

В координатной плоскости Oxy расположена парабола y=x². На ось Оy «нанизаны» 13 квадратов так, что две вершины каждого квадрата, лежат на оси параболы, а две другие принадлежат параболе. При этом размеры квадратов подобраны так, что нижние вершины квадратов имеют ординаты 0, 1, 2, 3, … , 12. На сколько частей границы этих квадратов делят внутреннюю часть параболы y=x².

Например, на рисунке показано, что три первых квадрата делят внутреннюю часть параболы y=x² на 13 частей.

Кривая дракона – это рекурсивная ломаная, которая, начиная с единичного отрезка, за каждый шаг итерации удваивает свою длину, путем добавления к себе предыдущей части, повернутой на 90°. На рисунке приведена кривая дракона после шести итераций.

Эта ломаная помещается в наименьший прямоугольник размером 7х11 и площадью 77. Какова площадь наименьшего прямоугольника, в котором помещает кривая дракона после 13 итераций? Рассматриваются прямоугольники, стороны которых параллельны соответствующим звеньям кривой дракона.

Подробней смотрите статью в Википедии «Кривая дракона».

Кривая дракона, петляя по плоскости, иногда образовывает замкнутые клетки, равные единичным квадратам. На рисунке, кривая дракона после шести итераций ограничивает 11 таких клеток.

Сколько таких клеток ограничивает кривая дракона после 13 итераций?

(подробней о кривой дракона см. задачу 2485).

Куб 9х9х9, изображенный на рисунке справа, составлен из единичных кубиков. Эти кубики раскрашены в два цвета так, что некоторые из них образуются трехмерные кресты с общим центром (см. рис.).

Торцы крестов – это квадраты 1х1, 3х3, 5х5, …, которые составлены из квадратных рамок, чередующихся по цвету. Сколько синих кубиков в кубе 29х29х29, раскрашенного по такому же принципу?