Вершины четырехугольника ABCD лежат на параболе y = x², диагонали AC и BD перпендикулярны. Известны абсциссы трех его вершин: x_A = 23, x_B = –24, x_C = – 25.

Найдите абсциссу вершины D этого четырехугольника.

На полке стоит 9-томник, книги которого пронумерованы в таком порядке: 987654321. За одно перемещение можно взять любые два рядом стоящих тома и поставить их на любое другое место полки, в том числе между двумя другими томами. За какое наименьшее число таких перемещений можно получить натуральное расположение томов 123456789. 

В координатной плоскости построены парабола y = x² - 5x + 10 и окружность, пересекающая параболу в четырех точках A, B, C и D.

Известны абсциссы трех точек: x_A = 23, x_B = –24, x_C = – 25. Найдите абсциссу четвертой точки D. 

Девочка пронумеровала черные клетки шахматной доски 8х8 числами от 1 до 32 в натуральном порядке так, как показано на рисунке.

Мальчик собирается пронумеровать числами от 1 до 32 белые клетки этой доски так, чтобы суммы четырех чисел в любом квадрате 2х2 оказались равными. Сколькими различными способами мальчик сможет это сделать? В ответе укажите сумму всех чисел, расположенных на «белой» диагонали всех возможных решений (эти клетки отмечены звездочками).

25 точек расположены в узлах решетки в форме квадрата (рис. слева).

Сколько симметричных маршрутов можно проложить из точки A в точку B по линиям решетки так, чтобы каждый маршрут проходил через все точки и не пересекал себя? На рисунке справа показаны два различных симметричных маршрута.

В примере на умножение многозначных чисел в столбик разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым буквам – одинаковые цифры. Звездочками обозначены любые цифры.

Найдите число СИЛЁН и укажите его в ответе.

21 точка расположена в узлах решетки в форме равностороннего треугольника (рис. слева). Сколько замкнутых маршрутов, обладающих поворотной симметрией 3-го порядка, можно проложить по линиям решетки так, чтобы каждый маршрут проходил через все точки и не пересекал себя? Например, на рисунке справа показаны два различных симметричных маршрута на треугольном поле меньшего размера.

Фигура «Ёлочка» сложена из полного набора пентамино и украшена замкнутой гирляндой из 12 лампочек. Гирлянда является маршрутом шахматного коня, который перескакивая по лампочкам пробегает по всей гирлянде и возвращается к исходной лампочке, и при этом конь побывал в одной из клеток каждого пентамино.

Перевесьте гирлянду так, чтобы маршрут шахматного коня был симметричным, а конь побывал в одной из клеток каждого пентамино. В ответе укажите число симметричных маршрутов шахматного коня.

Рассмотрим бесконечное множество ромбов со стороной a и углом a°. Какое наибольшее целое значение может принимать площадь ромба из этого множества?

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 проведен отрезок, соединяющий вершину A куба с центром грани A₁B₁C₁D₁. Этот отрезок начинает непрерывно «скользить» своими концами по двум скрещивающимся диагоналям AC и B₁D₁ противоположных граней куба, не меняя своей длины. Двигаясь таким образом, отрезок задает линейчатую поверхность, изображенную на рисунке. Найдите площадь поверхности.

Полученное значение площади поверхности округлите до десятых и ответ запишите в виде неправильной дроби.