Вычислите x²/(y+z)+y²/(x+z)+z²/(x+y), если x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)=1.

Куб 4×4×4 сложен из 64 одинаковых по размеру кубиков, среди которых есть прозрачные. Несмотря на это, если на куб смотреть со стороны любой его грани, то он выглядит как сплошной квадрат 4×4. Найдите наибольшее число прозрачных кубиков. (Смотреть нужно издалека вдоль линии, перпендикулярной к грани и проходящей через её центр.)

В классе 33 ученика, каждый из которых ходит в музыкальную школу, плавает в бассейне или занимается рисованием. Кое-кто даже успевает заниматься несколькими вещами сразу. Например, среди пловцов 20 музыкантов, трое из которых ещё и рисуют. Чемпион класса по плаванию больше ничем не занимается, а два его друга музыканта плавать не умеют, зато отлично рисуют. Среди художников есть 10, которые даже нот не знают. Сколько в классе музыкантов?

Медиана, проведённая к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его периметр на две части, длины которых равны 12 и 21. Найдите длину основания. (Если ответов несколько, введите их произведение.)

Какое наименьшее число матчей нужно провести, чтобы из 24 теннисистов гарантированно определить двух сильнейших, т.е. честно разыграть между всеми участниками I и II места? (Любые два участника играют в разную силу; в каждом матче побеждает сильнейший; если А сильнее Б, а Б сильнее В, то А сильнее В.)

У Вас есть 8 одинаковых по размеру и внешнему виду шариков, среди которых 4 алюминиевых и 4 дюралевых. Различить их можно только по весу. За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь Вам удастся найти среди них два шарика, сделанных из разных металлов? (Массы всех шариков из одного и того же металла совпадают.)

В каждой клетке квадрата 4×4, нарисованного на клетчатой бумаге, написано одно целое число. Известно, что для любой клетки квадрата сумма чисел, написанных во всех соседних с нею клетках, равна 1. Найти сумму всех шестнадцати чисел. (Клетки называются соседними, если они имеют общую сторону.)

Эта шахматная позиция возникла из начальной после четвёртого хода чёрных. Как именно? В ответе необходимо указать все ходы белых и чёрных фигур.

Бригада трактористов должна была вспахать два поля, одно из которых в два раза больше другого. С утра бригадир отправил всю бригаду на большое поле. В середине рабочего дня он решил перераспределить силы: половину тракторов он оставил на большом поле, которое было вспахано как раз к концу рабочего дня. Другую половину бригадир отправил на маленькое поле, на котором в конце дня остался небольшой невспаханный участок. На другой день бригадир направил туда один трактор, и в течение рабочего дня поле было полностью вспахано. Сколько в бригаде тракторов?

Два велосипедиста одновременно стартовали на двух разных, но пересекающихся дорогах. Оба едут с постоянной скоростью 10 км/ч в сторону перекрёстка, где их дороги пересекаются. В момент старта один из велосипедистов находился на расстоянии 50 км от перекрёстка, а другой — на расстоянии 30 км от перекрёстка. Через сколько часов после старта оба велосипедиста будут на одинаковом расстоянии от перекрёстка?