Конь может сделать N ходов (N≥2) и вернуться в исходную клетку, побывав при этом на всех горизонталях и вертикалях шахматной доски N×N. Найдите сумму всех возможных значений N.

В ряду 10 монет. Сначала подряд лежат несколько (от 1 до 9) настоящих, которые весят по 10 граммов, а все следующие за ними — фальшивые, весящие по 9 граммов. За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить, какие монеты — настоящие, а какие — фальшивые?

Найдите количество различных трёхзначных чисел, сумма цифр которых делится на 13.

Какое наименьшее число прямых можно провести на плоскости так, чтобы получилось по крайней мере 6 точек, в каждой из которых пересекаются ровно 3 прямые, и хотя бы 4 точки, в каждой из которых пересекаются ровно 2 прямые?

В какое максимальное число цветов можно раскрасить клетки доски 10×10 так, чтобы у каждой клетки среди ее соседей (по стороне) были хотя бы две клетки, окрашенные в тот же цвет?

Имеется предмет, о котором известно, что его вес составляет целое число кг от 1 до 27. Также есть чашечные весы, на обе чашки которых можно класть гири. Определите наименьшее количество гирь, с помощью которых можно определить вес предмета.

Вернувшись из своего путешествия на Луну, Незнайка решил написать книгу о своих приключениях. Каждый вечер он читал новую главу из неё своим друзьям и однажды прочитал им следующие невероятные события: "Однажды утром Спрутс бросил меня в огромную пещеру с абсолютно гладкими гранитными стенами, которая представляла собой точный куб размерами 100x100x100 метров. Я стоял на краю небольшой ниши, нижний край которой был ровно в центре вертикальной грани этого куба. Выход на волю (его нижний край) был ровно в центре противоположной от меня грани. Присмотревшись, я увидел  канат висящий от выхода до пола. Если бы я как-то спустился на пол пещеры, я легко выбрался бы взобравшись по нему. Однако я был на высоте 50 метров от пола и не мог спрыгнуть. К счастью, у меня был подарок Миги: чудесный моток точно такого же каната. Сколько каната из него ни вытягивай, можно вытянуть еще столько же и так далее. Правда он был немного неудобный, в сечении это был не круг, а квадрат со стороной 2 см. Достаточно толстый, но очень гибкий и скользкий.  Как я ни старался, я так и не смог закрепить канат, чтобы спуститься по нему вниз. Исследовав всю небольшую нишу, я нашел ножницы, которыми можно было перерезать канат. Выхода из ситуации не было, однако поразмыслив я все же смог выбраться!"

"Враньё от первого до последнего слова!" — засмеялись все находившиеся в комнате коротышки, однако профессор Звёздочкин сказал, что при этих условиях у Незнайки действительно был один способ, чтобы выбраться из пещеры, и Знайка с ним согласился. Какое наименьшее количество метров каната нужно было вытянуть Незнайке из мотка, чтобы выбраться? (Считаем, что размеры Незнайки точечные, любой прыжок на любую высоту вверх или вниз смертелен).

На листе клетчатой бумаги отмечено несколько узлов сетки (т.е. точек, в которых пересекаются вертикальные и горизонтальные линии) так, что внутри интервала, соединяющего любые две отмеченные точки вообще нет узлов сетки. Найдите наибольшее число отмеченных узлов.

На доске написаны 13 чисел: 0, 1, 2, ..., 12. Среди них выбирают два каких-то числа a и b, стирают их, а вместо них пишут одно число ab+a+b. Описанную процедуру повторяют 12 раз. Найдите наибольшее число, которое может остаться на доске.

Найдите наибольшее значение n≤2011, при котором в клетках доски n×n можно расставить фишки так, чтобы на любых двух горизонталях стояли одинаковые количества фишек, а на любых двух вертикалях — различные. (В одну клетку можно поставить не более одной фишки, а каждая фишка должна занимать ровно одну клетку.)