В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC=10, высотой BD=10 вписаны квадраты KLMN и DPRQ. Если треугольник ABC перегнуть по высоте BD, то треугольники ABD и BDC совпадут при наложении, а квадраты частично перекроются.

Найдите площадь общей части квадратов KLMN и DPRQ в этом случае.

В треугольнике одна из сторон равна 7, а длины двух других относятся друг к другу как 25:24. Найти наибольшую возможную площадь треугольника.

Дана ломаная M₀M₁M₂M₃M₄M₅M₆M₇. Все углы M₀M₁M₂, M₁M₂M₃, ..., M₅M₆M₇ равны. Их величина такая, что, если бы все звенья были одинаковой длины, то ломаная была бы замкнута, образуя правильный семиугольник. Однако, длины звеньев другие:

|M₀M₁| = 5
|M₁M₂| = 8
|M₂M₃| = 11
|M₃M₄| = 14
|M₄M₅| = 17
|M₅M₆| = 20
|M₆M₇| = 23

Соединив отрезком крайние точки M₇ и M₀, получим восьмиугольник. Найдите размер его наименьшего угла в градусах.

­Боковое ребро правильной шестиугольной призмы проходит через вершину правильного октаэдра, а противоположное ему ребро призмы совпадает с отрезком, соединяющим центры противоположных граней октаэдра. Найти отношение объёмов общей части тел и октаэдра.

Администратор сайта проводит конкурс на лучшую авторскую задачу. Условия таковы: участники анонимно предлагают одну свою задачу. После публикации задач все участники дают оценку каждой задаче, кроме своей. В конкурсе приняли участие 6 человек. Каждый участник за лучшую (по его мнению) задачу давал 5 баллов, за следующую 4 балла, и т.д., за пятую - 1 балл. По каждой задаче баллы суммировались - это рейтинг задачи. Оказалось, что все рейтинги различны.

А) Могли ли все рейтинги быть простыми числами?

Б) Могла ли сумма четырёх наибольших рейтингов быть в три раза больше суммы остальных рейтингов?

В) Какова минимальная сумма третьего и четвёртого по величине  рейтингов?

В качестве ответа на вопросы А), Б) вводите 1, если «Да» и 0, если «Нет»; на вопрос В) вводите сумму рейтингов.

Например, ответ 1029 означает: А) «Да», Б) «Нет», В) 29.

В квадрате ABCD расположена окружность. Из вершин квадрата к окружности проведены отрезки касательных, на которых построены четыре равносторонних треугольника (см. рис.).

Три из них имеют площади 15, 20, 42. Найдите площадь четвертого треугольника.

Отрезки, соединяющие центры оснований правильной шестиугольной призмы и центры противоположных граней правильного октаэдра, совпадают. Боковое ребро призмы пересекает ребро октаэдра в его середине. Найти наибольшее отношение объёма общей части тел к объёму октаэдра.

Три попарно неравных квадрата площади S₁, S₂ и S₃ имеют общую вершину (и только её), при этом вершины всех квадратов расположены в узлах квадратной решетки 1х1. Ближайшие вершины соседних квадратов соединены отрезками, на которых построены ещё три квадрата, площадь каждого из них равна 10 (смотрите рисунок).

Найдите наименьшее значение суммы S₁+S₂+S₃ и укажите его в ответе.

Радиус сектора и хорда его дуги относятся 3:1. Найти наименьший радиус, вписанной окружности в этот сектор, если известно,что все три параметра имеют целочисленные значения.

f(x+y)=f(x)+f(y)+xy, f(4)=10.

Найдите f(2021).