Равносторонний треугольник имеет сторону длины n, n∈N. Все стороны треугольника разделены точками на единичные отрезки. В этот треугольник вписаны n-1 равносторонних треугольников, все вершины которых находятся в точках деления.
При этом исходный треугольник оказался разделен на части.

На рисунке приведен (для иллюстрации) равносторонний треугольник со стороной 7, в который вписаны 6 меньших равносторонних треугольников.

Обозначим: Tk – количество внутренних точек пересечения отрезков (сторон вписанных треугольников), через которые проходят ровно k отрезков. Найдите количество частей, на которые разделён исходный треугольник, если известно, что T2 = 2996676, T3 = 72 и T4 = 18.

Дана функциональная последовательность fn(x):
f0(x) = 0;
fn+1(x) = (x+fn(x)) / (x*(x+ fn(x))+1).

Найти предельную функцию g(x) при n стремящемся к бесконечности.
В ответе введите значение: 29*g(2) - g(82)

Множество A={a,b,c} содержит 3 элемента. Его запись занимает 7 символов.

Множество B это множество всех подмножеств множества A. Его запись: {{},{a},{b},{a,b},{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} занимает 42 символа.

Множество C это множество всех подмножеств множества B. Сколько символов занимает запись множества C?

В куб вписан правильный октаэдр наибольшего объёма. В каком отношении вершины октаэдра делят ребра этого куба? В ответе укажите отношение меньшей части к большей.

Гипотрохоида — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой, находящейся на фиксированной радиальной прямой окружности, катящейся по внутренней стороне неподвижной окружности. Гипотрохоида задается тремя параметрами: R — радиус неподвижной окружности, r — радиус вращающейся окружности, d — расстояние от фиксированной точки до центра вращающейся окружности. На рисунке приведена гипотрохоида с параметрами R=11, r=7, d=11, которая делит плоскость на 35 частей.

На сколько частей разделит плоскость гипотрохоида с параметрами R = p₁₀₁, r = p₁₀₀, d = p₁₀₁, где p₁₀₀ и p₁₀₁ — простые числа с номерами 100 и 101?

Квадрат разделён отрезками на четыре треугольника целочисленной площади. Площади трёх из них образуют арифметическую прогрессию с разностью 1.

Сколько существует таких квадратов с целочисленной стороной?

Квадрат разделён отрезками на четыре треугольника целочисленной площади. Площади a, b, c трёх из них образуют арифметическую прогрессию с разностью 1.

Найти наибольшую площадь d внутреннего треугольника такую, что d – точный квадрат.

Квадрат разделён отрезками на четыре треугольника целочисленной площади.

Площади трех  цветных треугольников, кроме белого, – соседние члены арифметической прогрессии с разностью 1.  Сколько существует таких квадратов  с целочисленной стороной?  

Сколько действительных корней имеет уравнение 100 cosx =√x?

Кривая дракона – это рекурсивная ломаная, которая, начиная с единичного отрезка, за каждую итерацию удваивает свою длину, путем добавления к себе предыдущей части, повернутой на 90°. Рассмотрим такой вариант построения этой ломаной, когда направления поворотов задаются строкой из нулей и единиц: ноль задаёт поворот по часовой стрелке, а единица – поворот против часовой стрелки. На рисунке изображена ломаная, заданная строкой 111010.

Эта ломаная образует 15 одноклеточных квадратиков. Рассмотрим ломаные, заданные всевозможными строками из 6-и нулей и единиц. Найдите сумму всех различных количеств квадратиков, которые они образуют.