В большом мешке находятся 600 пронумерованных от 0 до 599 бочонков лото.

На билете лото напечатаны пять разных полей с числами. На первом поле - числа от 0 до 59, на втором - от 60 до 149, на третьем - от 150 до 269, на четвёртом - от 270 до 419 и на пятом - от 420 до 599.

В процессе игры из мешка, случайным образом, вынимают бочонки. Число, которое обозначено на вынутом бочонке вычеркивается в билете лото, а бочонок возвращается в мешок.

Билет лото считается выигрышным, и игра заканчивается, как только в каждом из пяти полей билета оказалось, по меньшей мере, вычеркнуто одно число.

Сколько раз в среднем надо вынуть бочонок из мешка, чтобы билет лото стал выигрышным?

Натуральное число  делится без остатка на 4, на 9, на 49, и имеет 45 делителей, среди которых 1 и само это число. Найдите все такие натуральные числа. В ответе укажите их сумму.

Найдите наименьший корень уравнения a^x = x^a, где a = 18446744073709551616/6568408355712890625.

В прямоугольник с целочисленными взаимно простыми длинами сторон вписан прямоугольник с различными целочисленными сторонами так, что все его углы лежат на различных сторонах исходного четырехугольника. Одна из сторон вписанного четырехугольника в 2 раза меньше одной из сторон исходного. Минимально возможный (по площади) такой четырехугольник имеет размеры 10x11 со вписанным четырехугольником 5х10. Найдите вторую минимально возможную площадь исходного четырехугольника.

Найти пифагоров треугольник с наименьшим периметром, в который можно вписать две одинаковые окружности с радиусами больше 10, при этом одна окружность касается гипотенузы, катета и чевианы из прямого угла, а другая - гипотенузы, второго катета и той же чевианы. В ответе укажите периметр найденного треугольника.

Пусть p и q – длины отрезков одной из биссектрис треугольника, получаемые разбиением её точкой пересечения биссектрис (отрезок p примыкает к вершине). Даны соответствующие отношения p:q для трёх биссектрис этого треугольника: 5:4; 7:2 и 2:1. Найдите периметр этого треугольника, если длина одной из его сторон равна 411 и искомый периметр – целое число.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K – середины рёбер AB и SC соответственно, а точки N и L отмечены на рёбрах SA и BC соответственно так, что отрезки MK и NL пересекаются, а |AN|=4|NS|. Найдите отношение |CL|:|LB|.

Дедушке прописали принимать по полтаблетки каждый день в течение 60 дней. В пузырьке было 30 целых таблеток. В первый день он вытряхнул из пузырька таблетку и разломал ее пополам, одну половинку принял, а вторую положил обратно в пузырёк. Каждый следующий день он случайным образом вытряхивал из пузырька таблетки - если это оказывалась целая таблетка, то он ее разламывал и принимал половинку, а вторую клал в пузырёк, если выпадала половинка, то он принимал её. На какой день с вероятностью не менее 1/2 выпадет половинка таблетки? 

Даны коплексные числа: z₁ = 5 + 2i, z₂ = 5 + 3i. Известно, что для функции f(z) и для любого комплексного z выполняется:
1. f(z) – аналитическая,
2. f(z + z₁) = f(z),
3. f(z + z₂) = f(z).

Также известно, что f(12345)=12321. Найдите максимальное значение |f(9 + 40i)| по всем функциям f(z), удовлетворяющим всем условиям задачи.